Question

[hồ quỳnh anh]

Chứng minh:B=\(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{113}< \dfrac{1}{2}\)

Giúp mik vs cb ! Tối nay mik đi học rồi !

Answer 1

[Mashiro Shiina]

Hơi nhầm xíu 113 . 7^2+8^2=113 cứ tưởng 112. Hơi ngáo tí =[[

Lời giải

Biến đổi tương đương ta được: \(L=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{113}=\dfrac{1}{1^2+2^2}+\dfrac{1}{2^2+3^2}+\dfrac{1}{3^2+4^2}+\dfrac{1}{4^2+5^2}+\dfrac{1}{5^2+6^2}+\dfrac{1}{6^2+7^2}+\dfrac{1}{7^2+8^2}\)

\(L=\dfrac{1}{1^2+\left(1+1\right)^2}+\dfrac{1}{2^2+\left(2+1\right)^2}+...+\dfrac{1}{7^2+\left(7+1\right)^2}\)

Chứng minh 1 bđt cơ bản sau: \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)\) thật vậy:

\(n^2+\left(n+1\right)^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1=2n\left(n+1\right)+1>2n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)

trở lại bài toán ta có: \(L< \dfrac{1}{2.1.2}+\dfrac{1}{2.2.3}+...+\dfrac{1}{2.7.8}\)

\(L< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+..+\dfrac{1}{7.8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+..+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{16}< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Mashiro Shiina]

Đề sai đúng hk? CHỗ kia 112 chứ lấy đâu ra 113

p/s : 7^2+8^2=112. =))