a) Cho các số dương x, y, z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của \(A=\dfrac{x+y}{xyz}\)
b) Cho các số dương x, y, z, t có tổng bằng 2.
Tìm GTNN của \(B=\dfrac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 8 2016
Ta có : \(2=\left[\left(x+y+z\right)+t\right]\ge4t\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow1\ge2t\left(x+y+z\right)\) (1)
Lại có : \(\left(x+y+z\right)^2=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\) (2)
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) (3)
Nhân (1) , (2) , (3) theo vế được :
\(\left(x+y\right)^2\left(x+y+z\right)^2\ge16xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge16\)
Suy ra Min B = 16 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y+z=t\\x+y=z\\x=y\\x+y+z+t=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\\t=1\end{cases}\)
4 tháng 2 2017
bạn Ngọc ơi! cho mình hỏi vì sao bạn có được hàng đầu tiên vậy? Nó liên kết với hàng 3 như thế nào? Hàng 1 không bình phương nhưng sao lại vẫn có được như hàng 3?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 1 2021
\(B\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2zt}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)zt}\ge\dfrac{16\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2t}\)
\(B\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)t}\ge\dfrac{64}{\left(x+y+z+t\right)^4}=64\)
\(B_{min}=64\) khi \(\left(x;y;z;t\right)=\left(\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
28 tháng 1 2021
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
+) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
+) \(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
+) \(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
Nhân từng vế với vế của các BĐT trên ta có :
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+t\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\)
\(\Leftrightarrow B=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x+y=z\\x+y+z=t\\x+y+z+t=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{1}{4}\\z=\dfrac{1}{2}\\t=1\end{matrix}\right.\)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 1 2021
\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
14 tháng 6 2017
Ta có:
\(4A=\frac{\left(x+y+z+t\right)^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(\ge\frac{4\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{16\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(=\frac{16\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{64xy}{xy}=64\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Đấu = xảy ra khi \(t=2z=4x=4y=1\)
15 tháng 6 2017
x;y;z;t >0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :
=\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
=\(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
=\(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
nhân các vế tương ứng ta có:
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+t\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
mà x+y+z+t=2
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)2\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
=\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)
=\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\)
\(\Rightarrow B=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge\frac{16xyzt}{xyzt}=16\)
vậy minB=16 khi\(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=z\\x+y+z=t\end{cases}};x+y+z+t=2\Rightarrow x=y=0.25;z=0.5;t=1\)
BD
18 tháng 7 2016
Bài 1:a,
A=a/b+c + b/a+c + c/a+b = a^2/ab+ac + b^2/ab+bc + c^2/ac+bc
Áp dụng BĐT dạng Angel : A > hoặc = (a+b+c)^2/ab+ac+ab+bc+ac+bc=(a+b+c)^2/2(ab+bc+ca) > hoặc = 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca)=3/2
b,làm tt câu a
HT
1
TM
10 tháng 9 2017
x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]2=1
Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Suy ra 1.(x+y)2 \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2
Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)