Dạng toán nâng cao Câu 1:Chứng minh rằng\(\dfrac{a}{n\left(n a\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n a}\) ( n, a \(\in\) N*) Câu 2: Áp dụng tính: \(A=\dfrac{1}{2.3} \dfrac{1}{3.4} ... \dfrac{1}{99.100}...

1

F

friendforever

8 tháng 4 2018

Câu 1 :

1/n - 1/n + a = a + n/a ( a + n ) = a + n - a/a ( n + a ) = n/a ( a + n )

Câu 2 :

A = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +.......+ 1/99 - 1/100

= 1/1 - 1/100 = 99/100

a) Chứng tỏ rằng với \(n\in\mathbb{N},n\ne0\) thì : \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) b) Áp dụng kết quả ở câu a) để tính nhanh : ...

SG

Sách Giáo Khoa

15 tháng 5 2017

Đọc tiếp

2

MH

Mai Hà Chi

23 tháng 6 2017

a) \(\forall\)n \(\in\) N^* ta có :

\(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n+1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) (đpcm)

HD

Hải Đăng

4 tháng 5 2018

Giáº£i sÃ¡ch bÃ i táºp ToÃ¡n 6 | Giáº£i bÃ i táºp SÃ¡ch bÃ i táºp ToÃ¡n 6

DN

Đặng Ngọc Thanh Nhàn

12 tháng 8 2017

1) Chứng minh: \(\dfrac{1}{n+\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

2) Áp dụng tính tổng: A= \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

Giúp mình nha. Mình cảm ơn trước.

#Toán lớp 7

1

NT

Nguyễn Thanh Hằng

12 tháng 8 2017

1) Ta có :

\(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)

Vậy \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\rightarrowđpcm\)

2) \(A=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+............+\dfrac{1}{99.100}\)

\(\Leftrightarrow A=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+......+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow A=1-\dfrac{1}{100}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{99}{100}\)

DN

Đặng Ngọc Thanh Nhàn

15 tháng 8 2017

Cảm ơn bạn nhưng cho mình hỏi đpcm là gì thế?

CY

Chuột yêu Gạo

17 tháng 12 2021

Chứng minh các mệnh đề sau

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

18 tháng 12 2021

a: \(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)

Chứng minh rằng: a) \(\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}\)= \(\dfrac{1}{n}\)- \(\dfrac{1}{n+a}\) ( n, a\(\in\) N sao) b) Áp dụng câu a tính A = \(\dfrac{1}{2.3}\)+ \(\dfrac{1}{3.4}\)+.....+ \(\dfrac{1}{99.100}\) B = \(\dfrac{5}{1.4}\)+ \(\dfrac{5}{4.7}\)+......+ \(\dfrac{5}{100.103}\) C = \(\dfrac{1}{15}\)+ \(\dfrac{1}{35}\)+....+...

PT

Phạm Thu Huyền

5 tháng 4 2017

Đọc tiếp

1

BN

bảo nam trần

5 tháng 4 2017

a, \(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}=\dfrac{n+a}{n\left(n+a\right)}-\dfrac{n}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{n+a-n}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}\)

Vậy \(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}=\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}\)

b,

\(A=\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{99.100}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{49}{100}\)

\(B=\dfrac{5}{1.4}+\dfrac{5}{4.7}+...+\dfrac{5}{100.103}\)

\(3B=\dfrac{5.3}{1.4}+\dfrac{5.3}{4.7}+...+\dfrac{5.3}{100.103}\)

\(3B=5\left(\dfrac{3}{1.4}+\dfrac{3}{4.7}+...+\dfrac{3}{100.103}\right)\)

\(3B=5\left(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{103}\right)\)

\(3B=5\left(1-\dfrac{1}{103}\right)=5\cdot\dfrac{102}{103}=\dfrac{510}{103}\)

\(B=\dfrac{510}{103}:3=\dfrac{170}{103}\)

\(C=\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35}+...+\dfrac{1}{2499}\)

\(C=\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{49.51}\)

\(2C=\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{5.7}+...+\dfrac{2}{49.51}\)

\(2C=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{51}\)

\(2C=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{51}=\dfrac{16}{51}\)

\(C=\dfrac{16}{51}:2=\dfrac{8}{51}\)

NN

Núi non tình yêu thuần khiết

18 tháng 12 2021

Chứng minh các mệnh đề sau theo phương pháp qui nạp dãy số:

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

0

DG

Đừng gọi tôi là Jung Hae Ri

19 tháng 12 2021

Chứng minh các mệnh đề sau theo phương pháp qui nạp dãy số:

\(a,\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{n}{n+1}\forall n\in N\)*

\(b,1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 2-\dfrac{1}{n}\forall n\ge2\)

1

NH

Nguyễn Hoàng Minh

19 tháng 12 2021

\(a,n=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\left(đúng\right)\\ G\text{/}s:n=k\Leftrightarrow\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\\ \text{Với }n=k+1\\ \text{Cần cm: }\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}\\ \text{Ta có }VT=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\dfrac{k+1}{k+2}=VP\)

Vậy với \(n=k+1\) thì mệnh đề cũng đúng

Vậy theo pp quy nạp ta đc đpcm

Đúng(2)

DX

dream XD

28 tháng 3 2021

Chứng minh rằng :

a) \(\dfrac{1.3.5.....39}{21.22.23.....40}=\dfrac{1}{2^{20}}\)

b) \(\dfrac{1.3.5....\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n}=\dfrac{1}{2^n}\) với \(n\in\) N*

1

NA

Ngoc Anh Thai

Giáo viên

28 tháng 3 2021

a) Vế trái \(=\dfrac{1.3.5...39}{21.22.23...40}=\dfrac{1.3.5.7...21.23...39}{21.22.23....40}=\dfrac{1.3.5.7...19}{22.24.26...40}\)

\(=\dfrac{1.3.5.7....19}{2.11.2.12.2.13.2.14.2.15.2.16.2.17.2.18.2.19.2.20}\\ =\dfrac{1.3.5.7.9.....19}{\left(1.3.5.7.9...19\right).2^{20}}=\dfrac{1}{2^{20}}\left(đpcm\right)\)

b) Vế trái

\(=\dfrac{1.3.5...\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)...2n}\\ =\dfrac{1.2.3.4.5.6...\left(2n-1\right).2n}{2.4.6...2n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n}\\ =\dfrac{1.2.3.4...\left(2n-1\right).2n}{2^n.1.2.3.4...n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n}\\ =\dfrac{1}{2^n}.\\ \left(đpcm\right)\)

Đúng(4)

CY

Chuột yêu Gạo

17 tháng 12 2021

Chứng minh các mệnh đề sau:

\(a,1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) \(\forall n\in N\) *

\(b,1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\) \(\forall n\in N\) *

0

BD

Bướm Đêm Sát Thủ

9 tháng 4 2018

rút gọn phân thức:\(A=\dfrac{3}{\left(1.2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2.3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3.4\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)

#Toán lớp 8

1

PN

Phạm Nguyễn Tất Đạt

9 tháng 4 2018

\(A=\dfrac{3}{\left(1\cdot2\right)^2}+\dfrac{5}{\left(2\cdot3\right)^2}+\dfrac{7}{\left(3\cdot4\right)^2}+...+\dfrac{2n+1}{\left[n\left(n+1\right)\right]^2}\)

\(A=\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{5}{4\cdot9}+\dfrac{7}{9\cdot16}+...+\dfrac{2n+1}{n^2\cdot\left(n^2+2n+1\right)}\)

\(A=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+...+\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)

\(A=1-\dfrac{1}{n^2+2n+1}\)

\(A=\dfrac{n\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}\)