Question

[Trang Boo]

1.Cho hàm số y=mx⁴-(m+1)x²+(m+1). Tìm tất cả tập hợp giá m của tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ

2. TÌM TẤT CẢ GIÁ TRỊ M ĐỂ đồ thị hàm số y+ x⁴ +2mx²+4 có 3 điểm cực trị nằm tên các trục tọa độ .

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1: Ta có

\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)

Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$

+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)

+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)

+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)

+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)

$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)

\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)

\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)

\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)

Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)

Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)

Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)

(thu được 3 cực trị)

Khi đó:

\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)

Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)

Vậy \(m=-2\)