Tìm x,y, \(\in\)N* thỏa mãn 2 điều kiện:
\(\frac{x+y\sqrt{2019}}{y+z\sqrt{2019}}\)là số hữu tỉ và (y+2)(4xz+6y-3) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
24 tháng 5 2019
Ta có \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=\frac{m}{n}\left(m,n\varepsilonℤ,\left(m,n\right)=1\right).\)
\(\Rightarrow nx-ny\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2019}\left(ny-mz\right).\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\ny-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2.\)
Khi đó \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Vì \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)(chỗ này bn tự giải chi tiết nhé, và thử lại nữa)
Kết luận...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2020
\(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=m\Rightarrow x-y\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\)
\(\Leftrightarrow\left(mz-y\right)\sqrt{2019}=my-x\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}mz-y=0\\my-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\frac{y}{z}\\m=\frac{x}{y}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\Rightarrow y^2=zx\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+z^2+2zx-2zx+y^2\)
\(=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x+y+z\right)\left(x+z-y\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\) là SNT \(\Rightarrow x+z-y=1\Rightarrow y=x+z-1\)
Mặt khác \(y^2=zx\le\frac{\left(x+z\right)^2}{4}\Rightarrow y\le\frac{x+z}{2}\)
\(\Rightarrow x+z-1\le\frac{x+z}{2}\Rightarrow x+z\le2\)
\(\Rightarrow x=z=1\Rightarrow y=1\)
Vậy có duy nhất \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\) thỏa mãn
