Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{GA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{GB.}\)Hãy biểu thị mỗi vecto \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{GC},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\) qua các vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 12 2021
\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)
\(=0\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Cách 1:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BG} = - \overrightarrow b + \overrightarrow {BG} ;\end{array}\)(*)
Lại có: \(\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b \).
\(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD} \) cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG} = -\overrightarrow b + \overrightarrow {BG} = -\overrightarrow b + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.\)
Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)
24 tháng 9 2023
Cách 2:
Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.
Ta có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \\= \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow {CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { - 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b \)
Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 8 2020
Theo tính chất trọng tâm ta luôn có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\Rightarrow m=n=-1\Rightarrow m+n=-2\)
BT
15 tháng 5 2017
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
13 tháng 9 2016
Kéo dài đoạn BM , lấy thuộc BM sao cho MC' = MG
=> ADCG là hình bình hành
=> GB = 2GM = GC'
Ta có : \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{CG}\) (quy tắc hình bình hành)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}\)
DL
13 tháng 9 2016
Gọi G \(\in\) trung tuyến AE, D đối xứng với E qua G
=> BGCD là hình bình hành
=> \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{GD}\) ( quy tắc HBH) và \(\overrightarrow{GA}\) +\(\overrightarrow{GD}\) = 0
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}\) + \(\overrightarrow{GB}\) + \(\overrightarrow{GC}\) = \(\overrightarrow{GA}\) +\(\overrightarrow{GD}\) = \(\overrightarrow{0}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 8 2021
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{GC}=0-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)