Chứng minh nếu a/b=c/d thì 12a^2+7a.b/ 20a^2 - 13b^2= 12c^2+7c.d/ 20c^2-13d^2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
B
27 tháng 9 2020
Bài làm :
- Cách 1 :
Ta có :
\(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3a-7d}\)
\(\Rightarrow\frac{2a+13b}{2c+13d}=\frac{3a-7b}{3c-7d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ; ta có :
\(\frac{2a+13b}{2c+13d}=\frac{3a-7b}{3c-7d}=\frac{2a+13b+3a-7b}{2c+13d+3c-7d}=\frac{5a+6b}{5c+6d}\Rightarrow\frac{5a}{5c}=\frac{6b}{6d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
=> Điều phải chứng minh
- Cách 2 :
\(\text{Giả sử : }\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Ta có :
- \(\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2bk+13b}{3bk-7b}=\frac{b\left(2k+13\right)}{b\left(3k-7\right)}=\frac{2k+13}{3k-7}\left(1\right)\)
- \(\frac{2c+13d}{3c-7d}=\frac{2dk+13d}{3dk-7d}=\frac{d\left(2k+13\right)}{d\left(3k-7\right)}=\frac{2k+13}{3k-7}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{2a+13b}{3a-7b}=\frac{2c+13d}{3c-7d}\)
=> Điều phải chứng minh
NN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2018
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\left\{\begin{matrix} \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2bk+5b}{3bk-4b}=\frac{b(2k+5)}{b(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\\ \frac{2c+5d}{3c-4d}=\frac{2dk+5d}{3dk-4d}=\frac{d(2k+5)}{d(3k-4)}=\frac{2k+5}{3k-4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{2a+5b}{3a-4b}=\frac{2c+5d}{3c-4d}\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 11 2018
Bài 2:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk; c=dk\)
Khi đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{(bk)^2+b^2}{(dk)^2+d^2}=\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\frac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\frac{ab}{cd}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}(=\frac{b^2}{d^2})\) . Ta có đpcm.
PT
1
25 tháng 2 2018
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(\Rightarrow a=b=c\)mà a + b + c = 2019
\(\Rightarrow a=b=c=\frac{2019}{3}=673\)
M
1
KK
8 tháng 4 2017
Sửa phân số thứ nhất: \(\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+32ab+b^2}}\rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}\)
Đề bài: \(P=\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{5c^2+32ac+12a^2}}\)
Lời giải
\(P=\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{5c^2+32ac+12a^2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+30ab+2ab+12b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{5b^2+30bc+2bc+12c^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{5c^2+30ac+2ac+12a^2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{5a\left(a+6b\right)+2b\left(a+6b\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{5b\left(b+6c\right)+2c\left(b+6c\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{5c\left(c+6a\right)+2a\left(c+6a\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}+\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}+\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}\le\dfrac{6a+8b}{2}\\\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}\le\dfrac{6b+8c}{2}\\\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}\le\dfrac{6c+8a}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}+\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}\le\dfrac{14\left(a+b+c\right)}{2}=21\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{\sqrt{\left(a+6b\right)\left(5a+2b\right)}+\sqrt{\left(b+6c\right)\left(5b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+6a\right)\left(5c+2a\right)}}\ge\dfrac{3}{7}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{7}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{5c^2+32ac+12a^2}}\ge\dfrac{3}{7}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3}{7}\)
Vậy \(P_{min}=\dfrac{3}{7}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
