1. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(\sqrt{a} \sqrt{b}=1\) . Chứng minh: \(ab\left(a b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) 2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2 b^2\le2\) . Chứng minh: \(a\sqrt{3a\left(a 2b\right)} b\s...

NT

Nguyễn Thị Hằng

21 tháng 1 2019

1. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\) . Chứng minh: \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) 2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2\le2\) . Chứng minh: \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\) 3. Cho \(a,b0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=2\) . Chứng minh:...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

PQ

Phan Quỳnh

7 tháng 12 2016

Cho \(a,b\ge0\)thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\). Chứng minh rằng \(ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\)

#Toán lớp 9

1

WR

Witch Rose

15 tháng 8 2017

Ta cm bằng cách bđ tương đương

\(Cm:ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\Leftrightarrow64ab\left(a+b\right)^2\le1\Leftrightarrow8\left(a+b\right)\sqrt{ab}\le1.\)

Ta có:

\(8\left(a+b\right)\sqrt{ab}=4.\left(a+b\right).2\sqrt{ab}\le4.\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)

Đúng(0)

PK

Phạm Kim Oanh

1 tháng 4 2022

Cho các số thực dương : \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ac+abc=4\)Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{2}\)P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán. Em cám ơn nhiều lắm...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

KB

Khôi Bùi

2 tháng 4 2022

Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)

Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)

Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đúng(3)

PK

Phạm Kim Oanh

2 tháng 4 2022

Dạ em cám ơn nhiều lắm ạ

Đúng(0)

DN

Dung Nguyễn

4 tháng 1 2016

1. Cho \(a\ge0;b\ge0.\) Chứng minh: \(\left(a+1\right)\sqrt{b}+\left(b+1\right)\sqrt{a}\le\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

2. Cho \(a\ge2;b\ge\frac{1}{2}\)Chứng minh: \(a\sqrt{2b-1}+2b\sqrt{2a-4}\le2ab\)

#Toán lớp 9

0

FS

Fire Sky

22 tháng 8 2019

Cho \(a,b,c\ge0\)Thỏa mãn: a + b + c = 1010

Chứng minh: \(\sqrt{2020a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2020b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2020c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2020\sqrt{2}\)

#Toán lớp 9

1

PM

Phùng Minh Quân

5 tháng 11 2019

\(\sqrt{2020a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\sqrt{2020a+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}=\sqrt{2020a+\frac{\left(1010-a\right)^2}{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a^2+2020a+1010^2\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+1010\right)\)

=> \(VT\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c+3.1010\right)=2020\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=1010;b=0;c=0 và các hoán vị

Đúng(0)

VD

Vô danh

3 tháng 4 2022

B1: Cho \(0\le a,b,c\le2\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). CMR: \(a^2+b^2+c^2\le5\)B2: Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2=a+b\). TÌm GTLN \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

3

TT

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

Bài 3:

\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)

Đúng(3)

TT

Trần Tuấn Hoàng

3 tháng 4 2022

-Tham khảo:

undefined

Đúng(3)

NH

Nguyen hoan

19 tháng 10 2023

Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca =1. Chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)

#Toán lớp 7

1

H9

HT.Phong (9A5)

CTVHS

19 tháng 10 2023

Ta có VP:

\(\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)

Thay \(1=ab+bc+ca\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]^2}}\)

\(=\dfrac{2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

_____________

Ta có VT:

\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\)

Thay \(1=ab+ac+bc\)

\(=\dfrac{a}{ab+ac+bc+a^2}+\dfrac{b}{ab+ac+bc+b^2}+\dfrac{c}{ab+ac+bc+c^2}\)

\(=\dfrac{a}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{a}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{a\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{ab+ac+ab+bc+ac+bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{2ab+2ac+2bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{2\cdot\left(ab+ac+bc\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\left(ab+ac+bc=1\right)\)

Mà: \(VP=VT=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\left(dpcm\right)\)

Đúng(2)

PU

Princess U

31 tháng 5 2019

Mọi người giúp tôi với . Thanks with love !

Cho \(a,b,c\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2\le2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : \(P=a\sqrt{3b\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\)

#Toán lớp 9

2

TP

Trần Phúc Khang

1 tháng 6 2019

Ta có \(\sqrt{3b\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{2}\left(3b+a+2b\right)=\frac{1}{2}\left(a+5b\right)\)

\(\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le\frac{1}{2}\left(5a+b\right)\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+10ab\right)\)

Mà \(ab\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\le\frac{1}{2}.2=1\)

=> \(P\le\frac{1}{2}\left(2+10\right)=6\)

Vậy MaxP=6 khi a=b=1

Đúng(0)

PU

Princess U

2 tháng 6 2019

Cảm ơn bạn Trần Phúc Khang ạ.

Đúng(0)

K

Kinder

13 tháng 6 2021

1. Cho \(a,b,c>0\) và \(ab+bc+ca=abc\). Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{a+3b+2c}+\dfrac{1}{b+3c+2a}+\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{6}\)

2. Cho \(a,b\ge0\) và \(a+b=2\) Tìm Max

\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+20ab\)

#Toán lớp 10

3

LT

Lê Thị Thục Hiền

13 tháng 6 2021

Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)

Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)

\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)

Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=3

Đúng(2)

LT

Lê Thị Thục Hiền

13 tháng 6 2021

Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)

\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)

\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)

\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)

\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)

\(=9a^2b^2-2ab+48\)

Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)