K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 4 2019

Lời giải:

Xét số hạng tổng quát \(\frac{1}{n^3}\)

\((n-1)(n+1)=n^2-1< n^2\)

\(\Rightarrow (n-1)n(n+1)< n^3\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(n-1)n(n+1)}>\frac{1}{n^3}\)

Thay $n=2,3,4,.....$. Khi đó ta có:

\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}<\underbrace{ \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n(n+1)}}_{A}(*)\)

Mà:

\(2A=\frac{3-1}{1.2.3}+\frac{4-2}{2.3.4}+....+\frac{(n+1)-(n-1)}{(n-1)n(n+1)}\)

\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}(**)\)

Từ \((*) ;(**)\Rightarrow \frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)

Ta có đpcm.

23 tháng 5 2016

ta có 1/23<1/1*2*3      1/33<1/2*3*4      1/43<1/3*4*5 .... 1/n3<1/(n-1)*n*(n+1)

Vậy=1/23+1/33+...+1/n3<1/1*2*3+1/2*3*4+.....1/(n-1)*n*(n+1)

Ta có      1/1*2*3      +        1/2*3*4       +...+      1/(n-1)*n*(n+1)

 =1/2*(1/1*2-1/2*3   +      1/2*3-1/3*4    +...+  1/(n-1)*n-1/n*(n+1)

=1/2*(1/2-     1/6      +       1/6   -1/12+..........+1/(n-1)*n-1/n*(n+1)

=1/2*(1/2-1/n*(n+1))

=1/4-1/2n*(n+1)<1/4

Vì 1/2^3+1/3^3+..+1/n^3<1/4-1/2n*(n+1)<1/4

nên =>1/2^3+1/3^3+...+1/n^3<1/4

23 tháng 5 2016

\(< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(< 2\cdot\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)

\(< \frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{5\cdot6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\)

\(< \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\right)\)

\(< \frac{1}{4}-\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)

                                          ĐPCM

26 tháng 2 2022

 Xét số hạng tổng quát ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài tập, ta có:

\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)

8 tháng 10 2016

bn làm dạng tổng quát đi ra mà

8 tháng 10 2016

có thì tớ đã ko hỏi

26 tháng 9 2019

bú lồn mả bà mày trả 

26 tháng 9 2019

bạn Phạm Hữu Tiến, bạn mất dạy vừa thôi nha mình chưa làm j bạn, mình chỉ hỏi bài các bạn thôi, bạn không trả lời đc thì thôi chứ sao bạn lại nói tục như vậy?????????