Question

[Bùi Minh Lâm]

1, Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :

\(A=\left(x+3\right)^3-\left(x+9\right).\left(x^2-27\right)\)

\(B=\left(x+y\right).\left(x^2-x.y+y^2\right)+\left(x-y\right).\left(x^2+x.y+y^2\right)-2.\left(x^3-9\right)\)

2, Cho \(\left(a^2+b^2\right).\left(x^2-y^2\right)=\left(ã.+b.y\right)\)

CMR : \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Nếu biểu thức A như bạn viết, thì sau khi rút gọn, $A=54x+270$ là biểu thức có giá trị phụ thuộc vào biến.

Sửa đề:

\(A=(x+3)^3-(x+9)(x^2+27)\)

\(=(x+3)(x+3)(x+3)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^2+6x+9)(x+3)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=(x^3+9x^2+27x+27)-(x^3+27x+9x^2+243)\)

\(=27-81=-216\) là biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến $x $ (đpcm)

\(B=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x^3-9)\)

\(=(x^3+y^3)+(x^3-y^3)-2(x^3-9)\) (hằng đẳng thức đáng nhớ)

\(=2x^3-2(x^3-9)=18\) là biểu thức có giá trị không phụ thuộc vào biến $x$ (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Sửa đề: Cho \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2\)

CMR: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Bạn lưu ý viết đề bài chính xác hơn.

-----------------------------

Ta có: \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2ax.by+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2=2ay.bx\)

\(\Leftrightarrow (ay)^2-2ay.bx+(bx)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2=0\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Ta có đpcm.