Cho \(a\ge0,b\ge0,c\ge0\).Chứng minh rằng :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 11 2019
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
PH
1
26 tháng 4 2016
(a2+ab+ac)(a2+ab+ac+bc)+b2c2
đặt a2+ab+ac=x; bc=y
=>x(x+y)+y2=x2+xy+y2>=0(đúng)
14 tháng 8 2018
Xét \(2\left(a+b+c\right)=2a+2b+2c=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt cosi cho 3 bộ số ta có :
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
28 tháng 1 2018
vì a,b,c>=0 =>a=1;b=0;c=0 hoặc a=0;b=1;c=0 hoặc a=0;b=0;c=1
=>a+2b+c>0 mà 1-1=0 => 4(1-a)(1-b)(1-c)=0
=>a+2b+c>=4(1-a)(1-b)(1-c)
17 tháng 8 2016
Vì a,b,c không phải là số âm \(\Rightarrow a,b,c\ge0\)
Ta có 2 TH:
TH 1: a,b,c=0
Nếu a,b,c = 0 => a(a+b)(a+c)(a+b+c)=0
=> a(a+b)(a+c)(a+b+c)=0
TH 2: a,b,c >0
=> a(a+b) >0 => a(a+b)(a+c) >0
=> a(a+b)(a+c)(a+b+c) >0
Vậy a,b,c là các số không âm => a(a+b)(a+c)(a+b+c) \(\ge0\)
17 tháng 8 2016
Đầu tiên , cần chứng minh \(x^2+xy+y^2\ge0\) với mọi x,y thuộc tập số thực.
Thật vậy , đặt \(A=x^2+y^2+xy\Rightarrow2A=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2\Rightarrow A\ge0\)
Ta có : \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2=\left(a^2+ab+ac\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)+b^2c^2\)
Đặt \(x=a^2+ab+ac\) , \(y=bc\) , suy ra :
\(x\left(x+y\right)+y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+xy+y^2\ge0\)luôn đúng.
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 3 2017
Lời giải:
BĐT tương đương với \((a^2+ab+ac)(a^2+ac+ab+bc)+b^2c^2\geq 0\)
Đặt \(a^2+ab+ac=t\)
BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow t(t+bc)+b^2c^2=(t-\frac{bc}{2})^2+\frac{3b^2c^2}{4}\geq 0\)
Luôn đúng vì bình phương của một số thực luôn là số không âm
Dấu bằng xảy ra khi \(2(a^2+ab+ac)=bc\) và \(bc=0\)
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)