chứng minh rằng 1/2^3 +1/3^3 +1/4^3+...+ 1/2009^3< 1/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FP
1
8 tháng 12 2018
Ta có các số trong dãy đều có dạng 1/[ (n + 1)√n ]
Ta có: 1/[ (n + 1)√n ] = (√n)/[ (n + 1)√n.√n ] = (√n)/[ (n + 1)n ] = (√n).1/[ (n + 1)n ]
Do 1/[ (n + 1)n ] = 1/n - 1/(n + 1) (mình nghĩ bạn biết cái này)
=> (√n).1/[ (n + 1)n ] = (√n).[ 1/n - 1/(n + 1) ]
Ta có 1/n - 1/(n + 1) = (1/√n)² - [ 1/√(n + 1) ]²
= [ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> 1/n - 1/(n + 1) = [ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> (√n).[ 1/n - 1/(n + 1) ] = (√n).[ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
Nhân √n với [ 1/√n + 1/√(n + 1) ] ta được
(√n).[ 1/√n + 1/√(n + 1) ]. [ 1/√n - 1/√(n + 1) ] = [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
=> 1/[ (n + 1)√n ] = [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] (1)
Do (√n)/√(n + 1) < √(n + 1)/√(n + 1)
=> (√n)/√(n + 1) < 1
=> 1 + (√n)/√(n + 1) < 1 + 1
=> 1 + (√n)/√(n + 1) < 2
=> [ 1 + (√n)/√(n + 1) ].[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] < 2.[ 1/√n - 1/√(n + 1) ] (2)
Từ (1) và (2) => 1/[ (n + 1)√n ] < 2.[ 1/√n - 1/√(n + 1) ]
Áp dụng ta được
1/2 < 2( 1 - 1/√2)
1/3√2 < 2(1/√2 - 1/√3)
....
1/(n+1)√n < 2(1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2( 1 - 1/√2) + 2(1/√2 - 1/√3) + ... + 2(1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2( 1 - 1/√2 + 1/√2 - 1/√3 + ... + 1/√n - 1/√(n + 1) )
=> 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2(1 - 1/√(n + 1) ) (3)
Do 1√(n + 1) > 0
=> -1√(n + 1) < 0
=> 1 -1√(n + 1) < 1
=> 2(1 - 1/√(n + 1) ) < 2 (4)
Từ (3) và (4) => 1/2 + 1/3√2 + 1/4√3 +.....+ 1/(n+1)√n < 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 12 2018
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\) . Do \(\sqrt{n+1}>\dfrac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< \dfrac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}.\dfrac{2}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Vậy \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2009\sqrt{2008}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2008}}-\dfrac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2009}}\right)< 2-\dfrac{2}{\sqrt{2009}}< 2\) (đpcm)
3 tháng 7 2016
Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{1}{n.n}< \frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}\)(n thuộc N*)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n+\left(n-1\right)}=\frac{1}{n.n-n+n-1}=\frac{1}{n.n-1}>\frac{1}{n.n}\)
\(S=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{2008.2009.2010}\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{2008.2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2008.2009}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
=> S < 1/4 (đpcm)
Ủng hộ mk nha ^_-
19 tháng 11 2023
cho mình hỏi tại sao:
1/2 . (1/1.2−1/2009.2010) = 1/2 . 1/2
9 tháng 11 2017
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}-\frac{1}{\sqrt{\left(n+1\right)^2}}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \left(1+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2009\sqrt{2008}}\)
\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2008}}-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)< 2\)
7 tháng 11 2017
\(1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}-...-\frac{1}{2009^2}\)
\(=1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}\right)\)
\(>1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2008.2009}\right)\)
\(=1-\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2008}-\frac{1}{2009}\right)\)
\(=1-\left(1-\frac{1}{2009}\right)\)
\(=\frac{1}{2009}\)
LC
6 tháng 12 2015
a giải luôn cho e nhé
7A=7+72+73+...+72008
7A-A=[7+72+73+...+72008]-[1+7+72+..+72007]
6A=72008-1
A=72008-1/6
b,Tương tư nhân B vs 4 là ra
6 tháng 12 2015
Mình chỉ trả lời được 2 câu đầu thôi nhé:
a.A= \(1+7+7^2+7^3+...+7^{2007}\)
A.7 = \(7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2008}\)
A7-A = \(\left(7+7^2+7^3+7^4+...+7^{2008}\right)-\left(1+7+7^2+7^3+...+7^{2007}\right)\)
A6 =\(7^{2008}-1\)
\(\Rightarrow A=7^{2008}-1\)
Câu còn lại làm tương tự bạn nhé
TK
1
25 tháng 10 2015
S = 1 + 3 + 32 + ... + 32009
S = ( 1 + 3 ) + ( 32 + 33 ) + ... + ( 32008 + 32009 )
S = 1.4 + 32(1+3) + ... + 32008(1+3)
S = 1.4 + 32.4 + ... + 32008.4
S = 4.(1+32+...+32008) chia hết cho 4
OC
1
Y
1
24 tháng 12 2015
S=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^2009
=(1+3)+(3^2+3^3)+...+(3^2008+3^2009)
=4+3^2(1+3)+...+3^2008(1+3)
=4(1+3^2+...+3^2008) chia hết cho 4
