cho a,b,c>0 thỏa mãn \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge2\). Cmr: abc ≤ \(\frac{1}{8}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
22 tháng 1 2021
\(\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\).
Tương tự ta có: \(\frac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\), \(\frac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\).
Nhân 3 bất đẳng thức trên theo vế ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\).
NH
1 tháng 2 2019
\(\frac{1}{a^2}=\frac{1}{\left(bc\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+1=\frac{1}{\left(bc\right)^2}+1\ge2\frac{1}{bc}=2a\)
4 tháng 10 2018
Ta có: \(\frac{1}{a+1}\ge2-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}=\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự \(\frac{1}{b+1}\ge\frac{c}{c+1}+\frac{a}{a+1}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân từng vế, ta có:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
PV
2
CT
26 tháng 1 2019
mik ví dụ 1 biểu thức nha
a(a+b+c)+bc/b+c=a^2+ab+ac+bc/b+c=(a+c)(a+b)/b+c
tương tự với mấy biểu thức còn lại
DP
4
6 tháng 7 2016
Ta có
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{1+b-1}{1+b}+\frac{1+c-1}{1+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)( nhỏ hơn vậy do bất đẳng thức Cosy với 2 số)
tương tư ta chứng minh được
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế của 3 bất đẳng thức vừa chứng mình được
\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}.2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc.\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}:\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)
\(\Rightarrow\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8abc\)
\(\Rightarrow1\ge8abc\Rightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)
Ủng hộ cho mình 1 cái T I C K nha . Cảm ơn bạn rất nhiều
____________________________CHÚC BẠN HỌC TỐT NHA ________________________________
LT
0
4 tháng 3 2019
câu 1.Ta có:
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{x+3y}{16}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+3y}.\frac{x+3y}{16}}=\frac{x}{2}\)
\(\frac{y^2}{y+3x}+\frac{y+3x}{16}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{y+3x}.\frac{y+3x}{16}}=\frac{y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{x+y+3x+3y}{16}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{x+3y}+\frac{y^2}{y+3x}\ge\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Câu 2:
điều kiện \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)(đúng ko)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2+1}.\frac{b^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2+1}.\frac{c^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{d^2+1}+\frac{d^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{d^2+1}.\frac{d^2+1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+4}{4}\ge4\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1}\ge4-\frac{8}{4}=2\left(đpcm\right)\)
Từ đề bài suy ra \(\frac{1}{a+1}\ge\left(1-\frac{1}{b+1}\right)+\left(1-\frac{1}{c+1}\right)=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự với hai bđt kia rồi nhân theo vế suy ra
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
Do a, b, c>0 nên (a+1)(b+1)(c+1) > 0 suy ra:
\(1\ge8abc\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/2