1/ Chứng minh với ba số x, y, z bất kỳ thì các đẳng thức sau không đồng thời xảy ra: \(\left|x\right|< \left|y-z\right|\)

Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi x, y, z bất kì thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra x < y − z ; y < z − x ; z < x − y ”Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.(II) Thế thì nâng lên bình phương...

#Toán lớp 10

0

PT

Pham Trong Bach

27 tháng 10 2018

#Toán lớp 10

1

CM

Cao Minh Tâm

27 tháng 10 2018

Đáp án D

E

Egoo

12 tháng 6 2020

Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\) với x, y, z là ba số thực bất kỳ. Chứng minh \(m\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

0

E

Egoo

11 tháng 6 2020

Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số \(\left(x-y\right)^2,\left(y-z\right)^2,\left(z-x\right)^2\) với x, y, z là ba số thực bất kỳ. Chứng minh \(m\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

12 tháng 6 2020

Do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\)

Khi đó 3 số được viết lại: \(\left(x-y\right)^2;\left(y-z\right)^2;\left(x-z\right)^2\)

\(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y\ge0\\y-z\ge0\\x-z\ge0\end{matrix}\right.\) mà \(x-z=x-y+y-z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z\ge x-y\\x-z\ge y-z\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{m}=min\left\{x-y;y-z\right\}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y\ge\sqrt{m}\\y-z\ge\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x-z=x-y+y-z\ge2\sqrt{m}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge m\\\left(y-z\right)^2\ge m\\\left(x-z\right)^2\ge4m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow6m\le\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow6m\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow6m\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left[\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow6m\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow m\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Chứng minh : \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\) Từ đó, chứng tỏ : a) Với ba số \(x,y,z\) không âm thì : \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz\) b) Với ba số a, b, c không âm thì : \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) (Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không...

SG

Sách Giáo Khoa

25 tháng 4 2017

2

NT

Nguyen Thuy Hoa

27 tháng 5 2017

Căn bậc hai. Căn bậc ba

NT

Nguyễn Thị Phụng

13 tháng 6 2017

Khai triển vế phải và rút gọn ,ta được kết quả vế phải bằng vế trái .

a )Nếu x ,y,z không âm thì x +y +z không âm .Suy ra

x³ +y³ +z³ -3xyz >=0.

Từ đó ,ta có \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}>=xyz.\)

b ) Đặt x \(\sqrt[3]{a}\) ,y =\(\sqrt[3]{b}\) ,z =\(\sqrt[3]{c}\)

Ta thấy a ,b ,c không âm ,nên x ,y ,z không âm .Dựa vào kết quả câu a ) ta có

\(\dfrac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c}\right)^3}{3}>=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}\)

Suy ra \(\dfrac{a+b+c}{3}>=\sqrt[3]{abc}\)

1.Tính:\(x:\frac{x-1}{2}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)}{2x^2+2x}.\frac{-4x}{\left(x-1\right)^2}-\frac{4x^2}{x^2-1}\)2.Chứng minh đẳng thức sau( giả sử đẳng thức có nghĩa):\(\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}\) Các bạn giúp mình...

ND

Nguyễn Đặng Hoàng Anh

4 tháng 9 2021

Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)

e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

#Toán lớp 8

5

LL

Lấp La Lấp Lánh

4 tháng 9 2021

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)

Đúng(1)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

4 tháng 9 2021

a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Đúng(1)

TL

Tui là Hacker

22 tháng 10 2017

#Toán lớp 8

0

TM

Tuấn Minh Nguyễn

6 tháng 11 2018

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 11 2018

hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn

\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)

\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)

\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)

Chúc bạn học tốt ~

TM

Tuấn Minh Nguyễn

6 tháng 11 2018

a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 11 2018

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)

Chúc bạn học tốt ~

AV

ank viet

26 tháng 12 2016

Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

1

LF

Lightning Farron

26 tháng 12 2016

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:

\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)

\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)