K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 8 2019

Đặt P = ... 

* Chứng minh P > 1/2 : 

\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)

Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là: 

\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)

Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)

* Chứng minh P < 3/4 : 

Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)

\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)

... 

\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 ) 

\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)

15 tháng 5 2016

Linh ơi;Phương Anh đây bài này dễ mà học nhà thầy rùi cách giải nè:

Ta có:1/2<1/1.2.3 ;1/3<1/2.3.4;.....;1/n3<1/.(n-1).n.(n+1)

Suy ra Đề bài <1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+....+1/(N-1).N.(N+1)

          <1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+...+1/N-1-1/N+1/N1/N+1

          <1/2-1/n+1<1/4

Vậy........

15 tháng 5 2016

Tao giải có đúng không?

14 tháng 1 2019

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}< \frac{2}{3}\)

                                         đpcm

25 tháng 7 2019

Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé!

9 tháng 8 2019

\(\frac{1}{3^3}< \frac{1}{2.3.4}\) \(\frac{1}{4^3}< \frac{1}{3.4.5}\) \(\frac{1}{5^3}< \frac{1}{4.5.6}\) .....  \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+\frac{1}{4.5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+\frac{2}{4.5.6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{4-2}{2.3.4}+\frac{5-3}{3.4.5}+\frac{6-4}{4.5.6}+...+\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\right)\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+\frac{1}{4.5}-\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{12}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}< \frac{1}{12}\)

DD
8 tháng 8 2021

\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Ta có đpcm.