Cho hai số dương x,y thỏa mãn \(x\ge2y\). Tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x})-2\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)
\(\frac{7x}{4y}\geq \frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do $x\geq 2y$
Do đó: \(P\geq \frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{5}{2}$ khi $x=2y$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 2:
\(P=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}=4(x^2+y^2)+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\frac{x^2+y^2}{4}+\frac{1}{4(x^2+y^2)}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{4}.\frac{1}{4(x^2+y^2)}}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|=2.\frac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{15(x^2+y^2)}{4}\geq \frac{15}{4}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow P\geq \frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
NN
1
25 tháng 11 2016
Từ điều kiện bài toán ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x-y\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x^2-2xy+y^2\ge0\end{cases}}\)
Thế vào ta được
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\ge\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}\ge1\)
Dấu = xảy ra khi x = y
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
12 tháng 3 2021
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 3 2021
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
14 tháng 3 2021
Ta có:
\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)
A
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
\(x\ge2y\Rightarrow\dfrac{x}{y}\ge2\)
\(M=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{4y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{x}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{4xy}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)
\(M_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(x=2y\)
NT
6
17 tháng 5 2017
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=2
21 tháng 2 2019
Dự đoán dấu "=" khi x = 2 ; y= 1
Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số và bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\) ta được
\(P=2x^2+y^2+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{7x^2}{4}+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\right)+\left(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{7x^2.14.14}{4.x^2}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2.1.1}{2.2y.2y}}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4+2}\)
\(=3.\sqrt[3]{\frac{7.14.14}{4}}+\frac{3}{\sqrt[3]{2^3}}+\frac{3^2}{6}=24\)
Dấu "=" khi x = 2 ; y = 1
T
21 tháng 2 2019
Bài toán easy!
\(P=\left(2x^2+8\right)+\left(y^2+1\right)+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(P\ge8x+2y+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}-9\)
\(=\left(7x+\frac{28}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge2\sqrt{7x.\frac{28}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\left(x+y\right)-9\)
\(\ge28+2+3-9=24\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2x^2=8\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(P_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{7x}{4y}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}-2\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương :
\(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1\)
\(\frac{7x}{4y}\ge\frac{7.2y}{4y}=\frac{7}{2}\) do \(x\ge2y\)
Do đó : \(P\ge\frac{7}{2}+1-2=\frac{5}{2}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{5}{2}\) khi x\(=2y\)
Chúc bạn học tốt !!!