K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 10 2019

Dạng tổng quát : \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k+1}}=1\) với k = 1;2;3; ... ; n 

\(\Rightarrow a=\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}>n\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho k+1 số dương ta có :

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{1.1.1...1.\frac{k+1}{k}}< \frac{1+1+1...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1.k}{k+1}\) \(+\frac{k+1}{\frac{k}{k+1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< \frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

\(< 1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

Áp dụng vào bài ta được :
\(a< \left(1+\frac{1}{1.2}\right)\left(1+\frac{1}{2.3}\right)\left(1+\frac{1}{3.4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(a< n+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(a< n+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(a< n+\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< n+1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra phần nguyên của a là n 

30 tháng 11 2016

Bài này trên gg có

13 tháng 5 2023

Ta có: \sqrt[{k + 1}]{{\frac{{k + 1}}{k}}} > 1,\left( {k = \overline {1,n} } \right)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho k + 1 số ta có: 

\begin{matrix}
 \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{k + 1}}{k}}} = \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{1 + 1 + .... + 1}}{k}\dfrac{{k + 1}}{k}}} < \dfrac{{1 + 1 + ... + 1 + \dfrac{{k + 1}}{k}}}{{k + 1}} = \dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{k} = 1 + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} \hfill \\
 \Rightarrow 1 < \sqrt[{k + 1}]{{\dfrac{{k + 1}}{k}}} < 1 + \left( {\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}} \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ... rồi cộng lại ta được 

n < \sqrt 2 + \sqrt[3]{{\frac{3}{2}}} + ... + \sqrt[{n + 1}]{{\frac{{n + 1}}{n}}} < n + 1 - \frac{1}{n} < n + 1 
 \Rightarrow \left| \alpha \right| = n

30 tháng 9 2019

Ta có : \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1.1...1}{k}.\frac{k+1}{k}}\)

\(< \frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại được :
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)

Vậy phần nguyên a là n 

Chúc bạn học tốt !!!

2 tháng 10 2015

Bạn giải được mà,sao còn đăng

27 tháng 5 2017

ko pick mik mới lớp 4

27 tháng 5 2017

mình mới lớp 6 thôi

9 tháng 10 2016

Bài 1:

Có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Có: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

xong bn áp dụng lên trên lm tiếp

9 tháng 10 2016

Bài 3:

theo bđt cô si ta có:

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}\cdot1}\le\left(\frac{b+c}{a}+1\right):2=\frac{b+c+a}{2a}\)

=> \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)                         (1)

Tương tự ta có :

\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)                            (2)

\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)                               (3)

Cộng vế vs vế (1)(2)(3) ta có:

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

6 tháng 2 2019

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4;....;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\)số,ta có:

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}}\le\frac{1+1+1+....+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}\)

\(=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1;2;3;4;.....n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[5]{\frac{5}{4}}+....+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)

6 tháng 2 2019

Làm lại:))

Ta có:\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\)với \(k=1;2;3;4...;n\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho \(k+1\) số,ta có:

\(1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}\ge\left(k+1\right)\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot...\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\)

\(\Rightarrow\frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{1\cdot1\cdot1\cdot....\cdot1\cdot\frac{k+1}{k}}\)

Mà \(\frac{1+1+....1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{1+1+1+....+1}{k+1}+\frac{\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

\(\Rightarrow1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}\le1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt thay \(k=1;2;3;....;n\)rồi cộng lại,ta được:

\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+\sqrt[4]{\frac{5}{4}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}\le n+1\)

\(\Rightarrow\left[a\right]=n\)