Cho hai số x, y thỏa mãn x+y=1. Tìm gtnn của biểu thức P= 5x2+y2
Giúp mk nha!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
1
29 tháng 10 2019
http://lop10.com/tuyet-ky-bat-dang-thuc-cosi-2477/
Link này có những bài tương tự
Học tốt!!!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2021
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\Rightarrow P^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}+2\sqrt{xy}\)
\(P^2=\left(\dfrac{x^2}{y}+\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\right)+\left(\dfrac{y^2}{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\right)-2\sqrt{xy}\)
\(P^2\ge3x+3y-2\sqrt{xy}\ge3\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=2\left(x+y\right)=4038\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{4038}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{2019}{2}\)
H
6 tháng 4 2021
Ta có:
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{2019-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{y-2019}}=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Lại có:
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{2019-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{2019-y}}=\dfrac{2019-y}{\sqrt{y}}+\dfrac{2019-x}{\sqrt{x}}\\ =\dfrac{2019}{\sqrt{x}}+\dfrac{2019}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow2P=\dfrac{2019}{\sqrt{x}}+\dfrac{2019}{\sqrt{y}}=2019\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\ge2019\cdot\dfrac{2}{\sqrt[4]{xy}}\\ \ge2019\dfrac{2}{\sqrt[2]{\dfrac{x+y}{2}}}=2019\cdot\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{2019}{2}}}=2\sqrt{2}\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\sqrt{2019}\)
Dấu = khi \(x=y=\dfrac{2019}{2}\)
NN
8 tháng 4 2017
Từ giả thiết ta có:
\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right).\frac{7}{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{7}{2}\right)^2+10=-y^2\le10\)
Mà \(\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\le0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}\)
Giải ra ta được \(x+y+1\ge-4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-5\\y=0\end{cases}}\)
Vậy \(A_{MIN}=-4\) tại \(\orbr{\begin{cases}x=-5\\y=0\end{cases}}\)
8 tháng 4 2017
bạn giải cái bất phương trình sai rồi: Min phải bằng -1, đề kêu 2 số thực x;y dương nên ko có chuyện x= -5 đâu
NH
15 tháng 5 2021
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
a, Thay y = 1 - 3x vào M, ta có:
\(\Rightarrow M=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{12}=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-\frac{1}{2}=0\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN M = 1/4 khi x = y = 1/4
b, Thay y = 1 - 3x vào N
\(\Rightarrow N=x\left(1-3x\right)=x-3x^2=-3\left(x^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}\right)\)
\(=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-3.\left(-\frac{1}{36}\right)=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\)
Vì \(\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\le\frac{1}{12}\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{6}=0\\3x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy GTLN N = 1/12 khi x = 1/6 và y = 1/2
KR
7 tháng 5 2018
Áp dụng Bunyakovsky, ta có :
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)
=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)
=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Mấy cái kia tương tự
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(P=\frac{x^2}{\frac{1}{5}}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{1}{5}+1}=\frac{5}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{\frac{1}{5}}=\frac{y}{1}\Leftrightarrow5x=y\Rightarrow x=\frac{1}{6}\Rightarrow y=\frac{5}{6}\)
Vậy ...
\(x+y=1\Rightarrow y=1-x\)
\(P=5x^2+\left(1-x\right)^2=6x^2-2x+1=6\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
\(P_{min}=\frac{5}{6}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)