Question

[Trương Tiền Phương]

\(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC, trên cung EC nhỏ của (O) lấy I sao cho IC > IE. Đường thẳng DI cắt CE tại N, đường thẳng EF cắt  đường thẳng CI tại M.

a) Cm:  đường thẳng MN vuông góc với  đường thẳng CH

b)  đường thẳng  HM cắt (O) ở K,  đường thẳng  KN cắt (O) ở G,  đường thẳng  MN cắt  đường thẳng  BC tại T. 

Cm: H, T, G thẳng hàng

( mọi người không nhất thiết phải kẻ hình lên đâu ạ )

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

a) Do các tứ giác BFEC ,DEIC , ABDE nội tiếp nên: \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}=\widehat{DIE}\)

\(\widehat{MEC}=\widehat{ABC}=\widehat{DEC}=\widehat{DIC}\Rightarrow\)Tứ giác MENI nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DIE}=\widehat{EMN}\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{EMN}\Rightarrow MN//AB\)

Mà \(CH\perp AB\Rightarrow CH\perp MN\left(đpcm\right)\)

b) Xét \(\Delta ENM\)và \(\Delta TNC\)có: \(\widehat{EMN}=\widehat{EIN}=\widehat{NCT},\widehat{ENM}=\widehat{TNC}\Rightarrow\Delta ENM~\Delta TNC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{NE}{NT}=\frac{NM}{NC}\Rightarrow NC.NE=NM.NT\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ENK\)và \(\Delta GNC\)có: \(\widehat{KEN}=\widehat{CGN},\widehat{ENK}=\widehat{GNC}\Rightarrow\Delta ENK~\Delta GNC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{NE}{NG}=\frac{NK}{NC}\Rightarrow NE.NC=NG.NK\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(NM.NT=NG.NK\Rightarrow\frac{NK}{NT}=\frac{NM}{NG}\Rightarrow\Delta TGN~\Delta KMN\)

\(\Rightarrow\widehat{KMN}=\widehat{TGN}\left(3\right)\)

Mà \(\widehat{KMN}=\widehat{HCK}\)(cùng phụ với \(\widehat{KHC}\))\(\Rightarrow\widehat{KMN}=\widehat{HGN}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{TGN}=\widehat{HGN}\Rightarrow\)H, T, G thẳng hàng (đpcm)