K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 10 2021

a, Gọi giao điểm của AB và EH là O

Xét tg AEO có \(\sin\widehat{A}=\dfrac{OE}{OA}\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OEA}=\widehat{HDO}=90^0\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta ODH\sim\Delta OEA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OH}{OA}\\\widehat{AOE}.chung\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta OHA\sim\Delta ODE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AH}=\dfrac{OE}{OA}=\sin\widehat{A}\\ \Rightarrow DE=AH\cdot\sin\widehat{A}\)

b, Áp dụng công thức diện tích tam giác bằng \(\dfrac{1}{2}\) tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

\(S_{ABC}=S_{AIB}+S_{AIC}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AI\cdot\sin\widehat{BAI}+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin\widehat{CAI}\)

Mà AI là p/g nên \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=30^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin60^0=\dfrac{1}{2}AB\cdot AI\cdot\sin30^0+\dfrac{1}{2}AC\cdot AI\cdot\sin30^0\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AB\cdot AI+\dfrac{1}{4}AC\cdot AI\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{4}AI\left(AB+AC\right)\\ \Rightarrow\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{1}{4}AI}=\dfrac{AB+AC}{AB\cdot AC}\\ \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{AI}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)

19 tháng 10 2021

sao anh đc Admin tick mà ko đc GP nhỉ

7 tháng 7 2023

b

b

b

b

b

b

7 tháng 7 2023

b

3 tháng 7 2021

a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b)(\(\dfrac{BE}{CF}\) chứ)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.BC\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

c)Áp dụng định lý Thales có:

\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\Leftrightarrow BA.BH=BE.BC\)

\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow CF.BC=CA.CH\)

\(\Rightarrow BA.CA.BH.CH=BE.CF.BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH.BC.AH^2=BC^2.BE.BF\)

\(\Leftrightarrow BC^..BE.BF=AH^3\) 

Vậy ....

3 tháng 7 2021

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có \(HE\bot AB\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có \(HF\bot AC\Rightarrow AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b) sửa đề: \(\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

Dễ dàng chứng minh được EHAF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

Ta có: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\)

Vì \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle EBH=\angle FHC\)

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{CF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{EH}{CF}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HE.AB}{AC.CF}\left(1\right)\)

Vì \(HE\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{HE}\Rightarrow BE=\dfrac{AB}{AC}.HE\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.AH.BC\left(AB.AC=AH.BC\right)\)

\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)

 

 

6 tháng 7 2021

a) Ta có: \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Delta AHB\) vuông tại H có HE là đường cao \(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

\(\Delta AHC\) vuông tại H có HF là đường cao \(\Rightarrow AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2-AC^2=BH.BC-CH.BC=BC\left(BH-CH\right)\)

\(=\left(BH+CH\right)\left(BH-CH\right)=BH^2-CH^2\)

c) Ta có: \(\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{AF.FC}-\dfrac{1}{CA.CF}=\dfrac{1}{CF}\left(\dfrac{1}{AF}-\dfrac{1}{CA}\right)\)

\(=\dfrac{1}{CF}.\dfrac{CF}{AF.AC}=\dfrac{1}{AH^2}\)

Lại có: \(\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE.EA}-\dfrac{1}{BE.BA}=\dfrac{1}{BE}\left(\dfrac{1}{EA}-\dfrac{1}{BA}\right)\)

\(=\dfrac{1}{BE}.\dfrac{BE}{EA.BA}=\dfrac{1}{AH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{HF^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{BH^2}\Rightarrow\dfrac{1}{BH^2}-\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{1}{HE^2}-\dfrac{1}{HF^2}\)

d) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.\left(AB.AC\right)=BE.CF.AH.BC\)

\(\Rightarrow BC.BE.CF=AH^3\)

e) Ta có: \(AE.BE+AF.CF=EH^2+HF^2=EF^2=AH^2=BH.CH\)

f) Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=3AH^2+BH^2-EH^2+CH^2-HF^2\)

\(=3AH^2+BH^2+CH^2-\left(EH^2+HF^2\right)\)

\(=3AH^2+BH^2+CH^2-EF^2=3AH^2+BH^2+CH^2-AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2AH^2=BH^2+CH^2+2BH.CH\)

\(=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

1 tháng 8 2023

.Ta có :

AH⊥BC,HE⊥AB→\(\widehat{AEH}=\widehat{AHB}\)

=> \(\Delta AEH\approx\Delta AHB\)(g.g)

=>\(\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>AH\(^2\)=AE.AB

Lam tuong tu ta dc AH\(^2\)=AF.AC

=> AE.AB=AF.AC

 

a: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nen AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

17 tháng 6 2023

loading...