Cho x,y là hai số thỏa mãn x+2y=3. Tìm GTNN của E= x^2 +2y^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
Bạn coi lại đề, nhìn 2 vế của điều kiên đều là \(\sqrt{x+2}\) có vẻ sai sai rồi đó
PD
2
21 tháng 5 2017
CÁCH 1 :\(x+2y=3\Rightarrow x=3-2y\)
Ta có \(E=x^2+y^2=\left(3-2y\right)^2+y^2\)
\(=9-12y+4y^2+y^2\)
\(=5y^2-12y+9\)
\(=5\left(y^2-2.\frac{6}{5}.y+\frac{36}{25}\right)+\frac{9}{5}\)
\(=5.\left(y-\frac{6}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\)
Vì \(5.\left(y-\frac{6}{5}\right)^2\ge0\forall y\) nên \(5\left(y-\frac{6}{5}\right)^2+\frac{9}{5}\ge\frac{9}{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left(y-\frac{6}{5}\right)^2=0\Leftrightarrow y=\frac{6}{5}\)
và \(x=3-2y=3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của E là \(\frac{9}{5}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)và\(y=\frac{6}{5}\)
21 tháng 5 2017
Áp dụng BDT Bunhacopxki ta có
\(\left(x+2y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+2^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(3^2\) \(\le5\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2\ge\frac{9}{5}\)
Bạn tự chỉ ra dấu bằng như ở cách 1 nha
YN
23 tháng 11 2021
Answer:
3.
\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)
\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)
\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)
\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)
\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 12 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$M\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{x^2y^2+1}{xy}}$
$=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}$
Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:
$1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$
$xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}$
$\geq 2\sqrt{xy.\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16xy}$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$
$\Rightarrow M\geq 2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$
Vậy $M_{\min}=\sqrt{17}$. Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$
N
1
TD
0
MD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Từ x + 2y =3 => x = 3 - 2y.Thay x = 3 -2y vào biểu thức E ,ta có :
E = x2 +2y2 =(3-2y)2 + 2y2 =6y2 -12y + 9
= \(6.\left(y^2-2y+\frac{3}{2}\right)=6.\left[\left(y^2-2y+1\right)+\frac{1}{2}\right]=6.\left[\left(y-1\right)^2+\frac{1}{2}\right]=6\left(y-1\right)^2+3\)
Do (y-1)2 \(\ge\)0=> E\(\ge\)3.
Vậy MINE khi y = 1,x =3 - 2.1 =1
x+2y=3⇒y=3−x2⇒y=3−x2(1)
Thế (1) vào E ta được : E=x22+x2−6x+92x2−6x+92
⇔2E=2x2+x2−6x+9⇔2E=3x2−6x+9⇔2E=2x2+x2−6x+9⇔2E=3x2−6x+9
⇔2E=3(x2−2x+1+2)⇔E=32[(x−1)2+2]⇔2E=3(x2−2x+1+2)⇔E=32[(x−1)2+2]
⇔E=32(x−1)2+3⇔E=32(x−1)2+3 . Do (x-1)22≥≥0⇒32(x−1)2≥0⇒32(x−1)2≥0⇒32(x−1)2+3≥3⇔E≥3⇒32(x−1)2+3≥3⇔E≥3 . Hay Emin=3Emin=3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 3 ⇔{x=1y=1