K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 12 2015

Đề: Cho  \(a+b+c=1\) và  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  .  Chứng minh:  \(a^2+b^2+c^2=1\)

                                                                 -----------------------------------------

Từ   \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\)  \(\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)  \(\left(1\right)\)

Mặt khác, ta lại có:   \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(ab+bc+ca=0\)  \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), suy ra  \(a^2+b^2+c^2=1\)   \(\left(đpcm\right)\)

14 tháng 12 2015

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

16 tháng 12 2015

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\left(a+b+c\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.0=1\)

=> dpcm

14 tháng 11 2018

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}=0\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(\frac{-1}{c}\right)^3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}.\left(-\frac{1}{c}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-\frac{3}{ab}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\left(đpcm\right)\)

14 tháng 11 2018

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2\Rightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\left(\frac{1}{a}\right)^3+\left(\frac{1}{b}\right)^3+\left(\frac{1}{c}\right)^3=3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

2 tháng 7 2018

2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c