Cho x,y,z,t > 0 thỏa mãn xy + yz + zx + zt = 3. Tìm GTNN của \(Q=5x^2+5y^2+5z^2+t^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
0
QL
0
AT
8 tháng 7 2017
Ta có : \(\left(5x+5y+5z\right)^2-\left(25xy+25yz+25zx\right)\)
\(=25\left(\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\right)\)
Xét : \(\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-xy-yz-zx=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=0\)
Nhân biểu thức với 2 ta được:
\(2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx=0\)
\(=>\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2=0\)
\(=>x+y=y+z=z+x=0\)
Vạy để phân thức A xác định thì x,y,z không đồng thời bằng 0;
CHÚC BẠN HỌC TỐT...
27 tháng 10 2020
AM-Gm đyyyyy
Giả sử P đạt min khi x=a=z>0; b=y>0; c=t>0. Khi đó bx=bz=ay; cx=cz=at và ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT AM-GM như sau:
\(abxy\le\frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}\left(1\right);abyz\le\frac{a^2y^2+b^2z^2}{2}\left(2\right);aczt\le\frac{c^2z^2+a^2t^2}{2}\left(3\right);actx\le\frac{a^2t^2+c^2x^2}{2}\left(4\right)\)
Từ (1);(2); (3) và (4) suy ra:
\(abcxy\le\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)}{2}\left(5\right);abcyz\le\frac{c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)}{2}\left(6\right);abczt\le\frac{b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)}{2}\left(7\right);abctx\le\frac{b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}\left(8\right)\)
Cộng các bất đẳng thức (5) (6) (7) (8) theo vế ta được
\(abc=abc\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\)\(\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)+c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)+b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)+b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}=\frac{\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2}{2}\)
tức \(\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2\ge2abc\left(9\right)\)
Như vậy để tìm minP cần tìm các số a,b,c theo tỉ lệ thích hợp sao cho hệ số x2;y2;t2 chia nhau theo tỉ lệ 5:4:1
\(\frac{b^2c+bc^2}{5}=\frac{2a^2c}{4}=\frac{2a^2b}{1}\)
Mặt khác, ta có bất đẳng thức xảy ra khi x=z=a;y=b;c=t mà theo giả thiết xy+yz+zt+tx=1 nên phải có ab+bc+ca+ac=1
Và như vậy ta đưa được bài toán về việc giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{bc\left(b+c\right)}{5}=\frac{a^2c}{2}=2a^2b\\a\left(b+c\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(*)
Giải hệ này ta tìm được \(a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)khi đó bất đẳng thức (9) trở thành
\(10a^2b\left(x^2+z^2\right)+8a^2by^2+2a^2b^2t^2\ge2abc\)
\(\Rightarrow P=5x^2+5z^2+4y^2+t^2\ge\frac{2abc}{2a^2b}=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy ta có đẳng thức xảy ra khi \(x=z=a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=y=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=t=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)
27 tháng 7 2019
\(yz\le\frac{\left(y+z\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\frac{4x^2}{y+z}\)
Do đó \(P\ge\frac{4x^2}{y+z}+\frac{4y^2}{z+x}+\frac{4z^2}{x+y}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=2\)(Vì x+y+z = 1)
Vậy Min P= 2. Dấu "=" có <=> x = y = z = 1/3.
