K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
25 tháng 6 2020

\(c^2+d^2+25=6c+8d\)

\(\Leftrightarrow\left(c^2-6c+9\right)+\left(d^2-8d+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3=0\\d-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=25-3a-4b=25-\left(3a+4b\right)=25-Q\)

Xét \(Q=3a+4b\Rightarrow Q^2=\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=25.2=50\)

\(\Rightarrow Q^2\le50\Rightarrow-5\sqrt{2}\le Q\le5\sqrt{2}\Rightarrow-Q\le5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)

\(P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\\frac{a}{3}=\frac{b}{4}\\3a+4b=-5\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{3\sqrt{2}}{5}\\b=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)

NV
19 tháng 4 2019

\(c^2-6c+9+d^2-8d+16=0\Leftrightarrow\left(c-3\right)^2+\left(d-4\right)^2=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\d=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=25-\left(3a+4b\right)\)

Mặt khác \(\left(3a+4b\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a^2+b^2\right)=50\)

\(\Rightarrow-5\sqrt{2}\le3a+4b\le5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P\le25+5\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P_{max}=25+5\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{-3\sqrt{2}}{5}\\b=\frac{-4\sqrt{2}}{5}\end{matrix}\right.\)

13 tháng 2 2022

giúp mình bài này với ah.

14 tháng 2 2022

cho hỏi có phải bạn đang làm đề amsterdam phải không =)))

NV
26 tháng 8 2021

\(3\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt[3]{3a+bc}}\le\dfrac{a}{\sqrt[3]{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{\dfrac{a}{a+b}.\dfrac{a}{a+c}.\dfrac{a}{2}}\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{a}{2}\right)\)

Cộng vế và rút gọn:

\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{2}\right)\)

\(E\le\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}\left(3+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2021

Lời giải:
Theo hệ quả quen thuộc của bđt AM-GM:
$(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\leq 9$

$\Rightarrow a+b+c\leq 3$ (đpcm)

Từ đây ta có:

\(E\leq \frac{a}{\sqrt[3]{(a+b+c)a+bc}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(a+b+c)b+ac}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c(a+b+c)+ab}}\)

\(=\frac{a}{\sqrt[3]{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt[3]{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt[3]{(c+a)(c+b)}}\)

\(\leq \frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a}{2}+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{b}{2}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c})+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{c}{2}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})\)

\(=\frac{\sqrt[3]{2}(a+b+c)}{6}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})\leq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}\)

Vậy.................

NV
21 tháng 3 2023

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\b\ge1\\a+b+c=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c\le4\)

\(\Rightarrow2\le c\le4\Rightarrow\left(c-2\right)\left(c-4\right)\le0\Rightarrow c^2\le6c-8\)

\(0\le a\le1< 6\Rightarrow a\left(a-6\right)\le0\Rightarrow a^2\le6a\)

\(1\le b\le2< 5\Rightarrow\left(b-1\right)\left(b-5\right)\le0\Rightarrow b^2\le6b-5\)

Cộng vế:

\(a^2+b^2+c^2\le6\left(a+b+c\right)-13=17\)

\(A_{max}=17\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;4\right)\)

4 tháng 5 2018

Ta có: 2P=(a2+b2) + (b2+c2) + (c2+a2

Theo Cauchy có: 

\(2P\ge2ab+2bc+2ca=2\left(ab+bc+ca\right)=2.9\)

=> \(P\ge9\)=> Pmin = 9 đạt được khi x=y=\(\sqrt{3}\)

Hoặc:

P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2

Theo Bunhiacopxki có:

P2= (a2+b2+c2)(b2+c2+a2\(\ge\)(ab+bc+ca)2=92

=> P\(\ge\)9  => Pmin=9

5 tháng 5 2018

Vì \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)(gt) => \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)<=> ab -a -b + 1 \(\ge0\)(1)

\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)<=> bc - b - c + 1 \(\ge0\)(2)

\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)<=> ca -c - a + 1 \(\ge0\)(3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được: 

ab + bc + ca -2(a +b +c) + 3 \(\ge0\)

=> \(a+b+c\le\frac{ab+bc+ca+3}{2}=\frac{9+3}{2}=6\)

Mà \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\Rightarrow a+b+c\ge3\)=> \(3\le a+b+c\le6\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\le36\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\le36\)

=> \(a^2+b^2+c^2\le36-2\left(ab+bc+ca\right)=36-2\times9=18\)=> P \(\le18\)

Vậy GTLN của P là 18 

Dâu "=" xảy ra khivà chỉ khi:

a =b=1, c=4 

hoặc: b=c=1, a=4

hoặc: c=a=1, b=4