a) Tìm các số nguyên x, y thỏa:
\(^{x^3+y^2=xy^2+1}\)
b) Cho các số nguyên dương a,b,c thỏa \(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\). Chứng minh ab là lập phương của một số nguyên dương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 5 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)
Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)
Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)
Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương
Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)
\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương
10 tháng 7 2020
Gọi \(d=gcd\left(a;b\right)\) khi đó \(a=dm;b=dn\) với \(\left(m;n\right)=1\)
Ta có:
\(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\Leftrightarrow c=\frac{b}{a}+a-\frac{1}{b}=\frac{dn}{dm}+dm-\frac{1}{dn}\)
\(=\frac{n}{m}+dm-\frac{1}{dn}=\frac{dn^2+d^2m^2n-m}{dmn}\)
Khi đó \(dn^2+d^2m^2n-m⋮dmn\Rightarrow m⋮n\) mà \(\left(m;n\right)=1\Rightarrow n=1\Rightarrow m=d\)
Khi đó \(ab=dm\cdot dn=d^3\) là lập phương số nguyên dương
21 tháng 11 2017
B1 :
Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a
Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b
c^2/a+b + a+b/4 >= c
=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c
=> VT >= a+b+c/2 = VP
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
k mk nha
NT
1
13 tháng 7 2020
Mình đã làm 1 cách trong TKHĐ giờ làm cách 2 nhá
\(c+\frac{1}{b}=a+\frac{b}{a}\)
\(\Leftrightarrow c-a=\frac{b}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b^2-a}{ab}\)
Khi đó \(b^2-a⋮ab\Leftrightarrow b^2-a=kab\) với k là số nguyên dương
Khi đó \(b^2=a\left(kb+1\right)\)
Mà \(\left(b;kb+1\right)=1\Rightarrow kb+1=1\Rightarrow kb=0\Rightarrow k=0\)
\(\Rightarrow a=b^2\Rightarrow ab=b^3\left(đpcm\right)\)
11 tháng 3 2018
áp dùng BDT cô si chúa Pain có
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\Rightarrow xy\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2.\)
mà \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{2}\ge\Rightarrow xy\ge4\)
b)
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
lấy từ câu A ta có \(xy\ge4\) " câu a"
suy ra
\(x+y\ge2\sqrt{4}=4\)
PV
12 tháng 4 2016
Câu 1: xy + x - y = 4
<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3
<=> x(y+1) - (y + 1) = 3
<=> (y + 1) (x - 1) = 3
Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.
Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)
* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)
Vậy x = y = 2.
Câu 2:
Ta có:
(a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0
Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c
