Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a+b+c=0
\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2=\left[-\left(b+c\right)\right]^2=b^2+2bc+c^2\)
Do đó \(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}=\frac{1}{b^2+c^2-b^2-2bc-c^2}=-\frac{1}{2bc}\)
Tương tự \(\frac{1}{c^2+a^2-b^2}=-\frac{1}{2ca}\) và \(\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2ab}\)
Do đó \(S=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=-\frac{1}{2}.\frac{a+b+c}{abc}=0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
( Do \(a+b+c+d=1\) )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
Câu hỏi của nguyen thanh chuc - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{1}=9\\ \)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)Hết => không điểm => DBNT
Bài làm của bạn kia chưa chặt chẽ! Mà cho mình hỏi DBNT là gì vậy? :)
Giải:
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta được:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) (Đpcm)
Chọn A