Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường tròn (O). Điểm E bất kỳ thuôc đoạn thẳng AB (và không trùng với A, B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC tại điểm F. Chứng minh ∠ BCF + ∠ BEF = 180 °
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CM
Cao Minh Tâm
10 tháng 10 2018
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2017
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng \(360^0\) mà \(\widehat{CBE}+\widehat{EFC}=180^0\) nên suy ra \(\widehat{BCF}+\widehat{BEF}=180^0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 4 2023
a.
\(DH\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{DHB}=90^0\Rightarrow D;H;B\) cùng thuộc đường tròn đường kính DB
\(\widehat{AEB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) \(\Rightarrow\widehat{DEB}=90^0\)
\(\Rightarrow D;E;B\) cùng thuộc đường tròn đường kính DB
\(\Rightarrow\) Tứ giác BHDE nội tiếp đường tròn đường kính DB
b.
\(\widehat{ACB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) (cùng chắn cung AC của (O)
\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{AEC}\)
Xét hai tam giác ADC và ACE có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACH}=\widehat{AEC}\left(cmt\right)\\\widehat{CAD}\text{ chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{CD}{EC}\Rightarrow AD.EC=CD.AC\)
c.
Cũng theo cmt \(\Delta ADC\sim\Delta ACE\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AE=AC^2\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao CH:
\(BC^2=BH.BA\)
\(\Rightarrow AD.AE+BH.BA=AC^2+BC^2=AB^2=2022^2\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
25 tháng 4 2016
a. Do I là trung điểm dây cung BC nên ta có \(\widehat{OIC}=90^0\). Xét tứ giác MOCI có \(\widehat{CMO}+\widehat{CIO} =90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác MOIC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CO.
b. Do D là điểm chính giữa cung AB nên \(DO \perp AB\), mà \(CM \perp AB\) nên \(DO \parallel CM\). Từ đó dễ thấy \(dtCMD=dtCMO\).
\(\frac{1}{2}CM.MO\le\frac{1}{2}\frac{CM^2+OM^2}{2}=\frac{1}{4}OC^2=\frac{R^2}{4}\)
Vậy diện tích tam giác MCD lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi \(OM=\frac{R}{\sqrt{2}}\)
Chúc em học tốt ^^
12 tháng 4 2022
Tham khảo
https://asknlearn247.com/question/cho-duong-tron-o-r-duong-kinh-ab-co-dinh-tren-tia-doi-cua-tia-ab-lay-diem-c-sao-cho-ac-r-qua-c-k-2018212/
12 tháng 4 2022
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ ˆAMB=90°AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ ˆAMP=90°AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ˆACP=90°ACP^=90° Hay ˆBCP=90°BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: ˆAMP+ˆACP=90°+90°=180°AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
ˆBMA=ˆBCP=90°BMA^=BCP^=90°
ˆPBCPBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABPBMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ ˆCPA=ˆCMACPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CACA⏜)
Hay ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ ˆAQN+ˆAMN=180°AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà ˆAMC+ˆAMN=180°AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ ˆAQN=ˆCMAAQN^=CMA^ Hay ˆPQN=ˆCMAPQN^=CMA^
Mà ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ ˆCPQ=ˆPQNCPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMODGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính R3R3
30 tháng 6 2023
1: góc MAI+góc MEI=180 độ
=>MAIE nội tiếp
2: góc IEN+góc IBN=180 độ
=>IENB nội tiếp
MAIE nội tiếp
=>góc AMI=góc AEI
IENB nội tiếp
=>góc BIN=góc BEN
góc BEN+góc IEB=90 độ
góc AEI+góc BEI=90 độ
=>góc BEN=góc AEI
=>góc AMI=góc BIN
