Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho
x
∈
[
-
1
;
1
]
và
ln
x
-
y
x
-
2017
y
+
e
2018
. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức
P
=
e
2018
y
+
1
x
2
-
2018
x
2
với
x
;
y
∈
S
đạt được tại
x
0
;
y
0
...
Đọc tiếp
Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho x ∈ [ - 1 ; 1 ] và ln x - y x - 2017 y + e 2018 . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức P = e 2018 y + 1 x 2 - 2018 x 2 với x ; y ∈ S đạt được tại x 0 ; y 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. x 0 ∈ - 1 ; 0
B. x 0 = - 1
C. x 0 = 1
D. x 0 ∈ [ 0 ; 1 )
,
và 
Đáp án A
Ta có ln x - y 2 - 2017 x = ln x - y y - 2017 y + e 2018 ⇔ x - y ln x - y - 2017 x - y = e 2018
⇔ ln x - y - e 2018 x - y - 2017 = 0 . Xét hàm số f t = ln t - e 2018 t - 2017 ,có f ' t = 1 t + e 2018 t 2 > 0 ; ∀ t > 0
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà f e 2018 = 0 ⇒ t = x - y = e 2018
Khi đó P = e 2018 x 1 + x - e 2018 - 2018 x 2 → g x
Lại có g ' x = e 2018 x x 2019 + 2018 x - 2018 e 2018 - 4036 x ⇒ g ' ' < 0 ; ∀ x ∈ - 1 ; 1
Nên g'(x) là hàm số nghịch biến trên [-1;1] mà g ' - 1 = e - 2018 + 2018 > 0
Và g ' 0 = 2019 - 2018 e 2018 < 0 nên tồn tại x 0 ∈ - 1 ; 0 sao cho g ' x 0 = 0
Vậy m a x - 1 ; 1 g x = g x 0 hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi x 0 ∈ - 1 ; 0 .