Cho hàm số
f
(
x
)
liên tục trên
ℝ
và thỏa mãn
2
f
(
x
)
+
3
f
(
-
x
)
=
1
4
+
x
2
. Tính tích phân
I
=
∫
-
2
2
f
(
x
)
d
x
. A.
I
=
π
10
B.
I
=
-
π
10
C.
I
=
π
20
D.
I
=
-
π
20
...
Đọc tiếp
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn 2 f ( x ) + 3 f ( - x ) = 1 4 + x 2 . Tính tích phân I = ∫ - 2 2 f ( x ) d x .
A. I = π 10
B. I = - π 10
C. I = π 20
D. I = - π 20
Đáp án C.
Lấy tích phân hai vế của biểu thức 2 f ( x ) + 3 f - x = 1 4 + x 2 , ta được
2 ∫ - 2 2 f ( x ) d x + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = ∫ - 2 2 1 4 + x 2 d x ⇔ 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( - x ) d x = π 4
Xét J = ∫ - 2 2 f ( - x ) d x . Đặt t = - x ⇒ d t = - d x . Đổi cận: x = - 2 → t = 2 x = 2 → t = - 2
Suy ra J = - ∫ 2 - 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( t ) d t = ∫ - 2 2 f ( x ) d x = I .
Vậy 2 I + 3 ∫ - 2 2 f ( x ) d x = π 4 ⇔ 2 I + 3 I = π 4 ⇔ I = π 20 .