Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60 ° cạnh bên SA = a 2 và SA vuông góc với ABCD. Tính góc giữa SB và (SAC).
A. 90 °
B. 30 °
C. 45 °
D. 60 °
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
24 tháng 8 2017
Đáp án A
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D (tính chất hình vuông).
Suy ra B D ⊥ S A C . Do đó hình chiếu của SB trên (SAC) là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là góc giữa SB và SI, tức là góc ISB (do tam giác ISB vuông tại I nên I S B ^ là góc nhọn). Ta có:
S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = A 2 2
D o đ ó sin I S B = I B S B = 1 2 ⇒ I S B = 30 °
CM
31 tháng 12 2019
Đáp án A.
Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có S A ⊥ A B C D ⇒ S A ⊥ B D . Lại có A C ⊥ B D (tính chất hình vuông).
Suy ra B D ⊥ S A C . Do đó hình chiếu của SB trên S A C là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C là góc giữa SB và SI, tức là góc I S B ^ (do tam giác ISB vuông tại I nên I S B ^ là góc nhọn). Ta có:
S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2 , I B = B D 2 = a 2 2
Do đó
sin I S B ^ = I B S B = 1 2 ⇒ I S B ^ = 30 °
Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:
A 0 ; 0 ; 0 , B 1 ; 0 ; 0 , D 0 ; 1 ; 0 , S 0 ; 0 ; 1 Khi đó C 1 ; 1 ; 0 .
Ta có S A → = 0 ; 0 ; − 1 , S C → = 1 ; 1 ; − 1 , S B → = 1 ; 0 ; − 1
Đặt n → = S A → , S C → = 1 ; − 1 ; 0 . Khi đó n → là một VTPT của S A C .
Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng S A C , β là góc giữa vecto n → và vecto S B → . Ta có
sin α = cos β = n → . S B → n → . S B → = 1 2 . 2 = 1 2 ⇒ α = 30 °
16 tháng 6 2023
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy \(\Delta OAB\) vuông tại O và \(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Từ đó \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-a^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{a}{2}\) \(\Rightarrow AC=a\).
Vì \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(SA\perp AC\) tại A hay \(\Delta SAC\) vuông tại A.
Lại có \(\tan SAC=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) nên \(\widehat{SAC}=60^o\), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 60o \(\Rightarrow\) Chọn A
16 tháng 6 2023
Chỗ \(\widehat{SAC}\) em sửa lại là \(\widehat{SCA}\) mới đúng ạ.
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
C là hình chiếu của C trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác SAC vuông tại A có
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\)
b) \(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {BD,\left( {SAC} \right)} \right) = {90^0}\)
c) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của B trên (SAC)
S là hình chiếu của S trên (SAC)
\( \Rightarrow \) SO là hình chiếu của SB trên (SAC).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2020
a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)
\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)
17 tháng 6 2023
a: SO vuông góc (ABCD)
=>(SAC) vuông góc (ABCD)
SO vuông góc (ABCD)
=>(SBD) vuông góc (ABCD)
b: BD vuông góc AC
BD vuông góc SA
=>BD vuông góc (SAC)
d: (SB;(ABCD))=(BS;BO)=góc SBO
cos SBO=OB/SB=a*căn 2/2/(a*căn 2)=1/2
=>góc SBO=60 độ
Chọn B.
Gọi O = AC ∩ BD. Vì ABCD là hình thoi nên BO ⊥ AC(1). Lại do:
Từ (1) và (2) ta có:BO ⊥ (SAC)
Ta có:
Vì ABCD là hình thoi có ABC = 60 ° nên tam giác ABC đều cạnh a
Trong tam giác vuông SBO ta có: