Question

[Tuấn Vũ Ngọc]

Cho tam giác ABC có \(\frac{\sin B+2018\sin C}{2018\cos B+\cos C}=\sin A\)và độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác MBG có diện tích là một số tự nhiên

LÀM HỘ MK NHA!!!

THANKS!!!

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Đặt \(m=2018,\frac{\sin B+m\sin C}{m\cos B+\cos C}=\sin A\Leftrightarrow b+mc=a\left(m\cos B+\cos C\right)\)

\(\Leftrightarrow b+mc=\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\)

\(\Leftrightarrow2bc\left(b+mc\right)=mb\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2b^2c+2mbc^2=mba^2+mbc^2-mb^3+ca^2+cb^2-c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(c+mb\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)=0\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A

Dễ dàng CM được \(S_{ABC}=6.S_{MBG}\Rightarrow bc=12.S_{MBG}\).Do vậy ta cần CM bc chia hết cho 12

( ta sử dụng tính chất của số chính phương)

- Số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

- Số chính phương lẻ chia 8 chỉ dư 1

*) Ta thấy trong 2 số \(b^2,c^2\)có ít nhất 1 số chia hết cho 3. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 3. Khi đó mỗi số đều chia 3 dư 1. Do đó a² chia 3 dư 2 ( trái với tính chất số chính phương)

Do 3 là số nguyên tố nên trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3 . (1)

*)Chứng minh trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4. giả sử không có số nào trong 2 số đó chia hết cho 4. Khi đó \(b=4m+r;c=4n+q;r,q\in\left\{1;2;-1\right\}\)

+ Nếu \(r,q\in\left\{1;-1\right\}\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)

+ Nếu \(r\in\left\{-1;1\right\},q=2\) hoặc ngược lại thì a² là số lẻ và a² chia 8 dư 5 ( vô lý)

+ Nếu r=q=2 thì \(a^2=4\left(2m+1\right)^2+4\left(2n+1\right)^2\Rightarrow\)a chẵn

Đặt \(a=2p\Rightarrow p^2=\left(2m+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2\Rightarrow p^2\)chia 4 dư 2 ( vô lý)

Vậy trong 2 số b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm