a,b,x,y là các số nguyên dương thỏa mãn a+b=x+y va a.b+a=x.y. Chứng minh rằng x=y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
4
8 tháng 8 2021
Bài 1:
Ta có: a + b - 2c = 0
⇒ a = 2c − b thay vào a2 + b2 + ab - 3c2 = 0 ta có:
(2c − b)2 + b2 + (2c − b).b − 3c2 = 0
⇔ 4c2 − 4bc + b2 + b2 + 2bc − b2 − 3c2 = 0
⇔ b2 − 2bc + c2 = 0
⇔ (b − c)2 = 0
⇔ b − c = 0
⇔ b = c
⇒ a + c − 2c = 0
⇔ a − c = 0
⇔ a = c
⇒ a = b = c
Vậy a = b = c
1 tháng 8 2019
Ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^3+y^3=a^3+b^3\end{cases}\left(1\right)}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)\end{cases}\left(2\right)}\)
Nếu \(a+b\ne0\)thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy=ab\end{cases}}\)
=> x,y là 2 nghiệm của phương trình \(X^2-\left(a+b\right)X+ab=0\)
Giải ra ta có \(\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases};\hept{\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(3)
Nếu \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)
Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x^3+y^3=0\end{cases}\Rightarrow x=-y}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2011}+y^{2011}=0\\a^{2011}+y^{2011}=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(4)
Từ (3) và (4) => đpcm
L2
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 10 2021
\(xy+x+1=3y\Rightarrow x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\)
Ta có:
\(x^3+1+1\ge3x\)
\(\dfrac{1}{y^3}+1+1\ge\dfrac{3}{y}\)
\(x^3+\dfrac{1}{y^3}+1\ge\dfrac{3x}{y}\)
Cộng vế:
\(2\left(x^3+\dfrac{1}{y^3}\right)+5\ge3\left(x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}\right)=9\)
\(\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{y^3}\ge2\)
\(\Rightarrow x^3y^3+1\ge2y^3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
KN
23 tháng 2 2020
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2=2\left(m^2+n^2+p^2\right)\)
Vì \(2\left(m^2+n^2+p^2\right)⋮2\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2⋮2\)(1)
Vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 nên:
\(a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+m\left(m-1\right)\)
\(+n\left(n-1\right)+p\left(p-1\right)\)là số chẵn
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2+m^2+n^2+p^2\right)-\left(a+b+c+m+n+p\right)⋮2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + m + n + p chia hết cho 2
Mà a + b + c + m + n + p > 2 ( do a,b,c,m,n,p dương) nên a + b + c + m + n + p là hợp số (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 6 2019
\(\frac{ax+by+cz}{xy}=z\Rightarrow z=\frac{a}{y}+\frac{b}{x}+\frac{cz}{xy}>\frac{a}{y}+\frac{b}{x}\)
Tương tự có \(y>\frac{a}{z}+\frac{c}{x}\); \(x>\frac{b}{z}+\frac{c}{y}\)
\(\Rightarrow x+y+z>\frac{b+c}{x}+\frac{a+c}{y}+\frac{a+b}{z}=\frac{b+c}{x}+x+\frac{a+c}{y}+y+\frac{a+b}{z}+z-x-y-z\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)>2\sqrt{b+c}+2\sqrt{a+c}+2\sqrt{a+b}\)
\(\Rightarrow x+y+z>\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
