Cho x2+y2\(\le\)2x+4y. Tìm min và max của F=2x+y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1 2022
Do \(x^2+y^2=1\Rightarrow-1\le x;y\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1\ge0\\1-y\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\left(y+1\right)\ge0\\y^2\left(1-y\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^3\ge-y^2\\y^3\le y^2\end{matrix}\right.\)
Với mọi số thực x ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\ge-x^2-1\\2x\le x^2+1\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}P=2x+y^3\ge-x^2-1-y^2=-2\\P=2x+y^3\le x^2+1+y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(P_{min}=-2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;0\right)\)
\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)\)
24 tháng 7 2021
A = y^2 - 4y + 9 = y^2 - 4y + 4 + 5
= ( y - 2 )^2 + 5 >= 5
Dấu ''='' xảy ra khi y = 2
Vậy GTNN A là 5 khi y = 2
B = x^2 - x + 1 = x^2 - x + 1/4 + 3/4 = ( x - 1/2 )^2 + 3/4 >= 3/4
Dấu ''='' xảy ra khi x = 1/2
Vậy GTNN B là 3/4 khi x = 1/2
C = 2x^2 - 6x = 2 ( x^2 - 3x + 9 / 4 - 9/4 )
= 2 ( x - 3/2 )^2 - 9/2 >= -9/2
Dấu ''='' xảy ra khi x = 3/2
Vậy GTNN C là -9/2 khi x = 3/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 7 2021
a.
TXĐ: \(D=\left[-4;2\right]\)
\(0\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le3\Rightarrow-1\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le2\)
\(\Rightarrow f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\le0\) ; \(\forall x\in D\)
\(g'\left(x\right)=-\dfrac{x+1}{\sqrt{8-x^2-2x}}.f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\) luôn cùng dấu \(x+1\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[-1;2\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-4;-1\right]\)
Từ BBT ta thấy \(g\left(x\right)_{max}=g\left(-4\right)=g\left(2\right)=f\left(-1\right)=?\)
\(g\left(x\right)_{min}=g\left(-1\right)=f\left(2\right)=?\)
(Do đề chỉ có thế này nên ko thể xác định cụ thể được min-max)
b.
\(g'\left(x\right)=\left(2x+1\right).f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\f'\left(x^2+x\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), ta chỉ cần quan tâm 2 nghiệm bội lẻ:
\(f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=-1\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+x=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+x\ge2\) ; với \(-2\le x\le1\Rightarrow-1\le x^2+x\le2\) nên ta có bảng xét dấu:
Từ BBT ta có: \(x=-\dfrac{1}{2}\) là cực đại, \(x=-2;x=1\) là 2 cực tiểu
Hàm đồng biến trên ... bạn tự kết luận
BH
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 7 2021
\(\dfrac{x^2+y^2}{2}\ge xy\Rightarrow-xy\ge-\dfrac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=x^2+y^2-xy\ge x^2+y^2-\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le8\)
\(C_{max}=8\) khi \(x=y=\pm2\)
\(x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow-xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}\)
\(4=x^2+y^2-xy\le x^2+y^2+\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{8}{3}\)
\(C_{min}=\dfrac{8}{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}};\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right);\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}};-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
Đúng thì like giúp mik nha bạn. Thx bạn
BH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
\(\dfrac{M}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+xy\right)-2\left(x^2+y^2+2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=3-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+xy}\le3\)
\(\Rightarrow M\le9\)
\(M_{max}=9\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x^2+y^2+xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right);\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right)\)
\(\dfrac{M}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(x^2+y^2+xy\right)+\dfrac{2}{3}\left(x^2+y^2-2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-y\right)^2}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge1\)
\(M_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x^2+y^2+xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=\pm1\)
30 tháng 8 2021
\(x^2+y^2-2x-4y-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9=0^2+3^2=0^2+\left(-3\right)^2\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=3\\y-2=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=-3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-1=-3\\y-2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow-2\le x\le4\left(y\in R\right)\)
Ta có \(S=3x+4y\)
Mà \(x\ge-2;y\ge-1\Leftrightarrow S\ge3\cdot\left(-2\right)+4\cdot\left(-1\right)=-6-4=-10\)
Vậy GTNN của S là \(-10\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 8 2021
Lời giải:
ĐKĐB $\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-9=0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2-9=0$
$\Rightarrow (x-1)^2=9-(y-2)^2\leq 9$
$\Rightarrow -3\leq x-1\leq 3$
$\Leftrightarrow -2\leq x\leq 4$
-------------
Đặt $x-1=a; y-2=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a^2+b^2=9$
Tìm min $S=3a+4b+11$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(3a+4b)^2\leq (a^2+b^2)(3^2+4^2)=9.25$
$\Rightarrow -15\leq 3a+4b\leq 15$
$\Rightarrow 3a+4b\geq -15$
$\Rightarrow S=3a+4b+11\geq -4$
Vậy $S_{\min}=-4$ khi $x=\frac{-4}{5}; y=\frac{-1}{5}$
\(x^2+y^2\le2x+4y\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\le5\)
Trong hệ tọa độ \(Oxy\)vẽ đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5\)(C) và đường thẳng \(2x+y-F=0\)(d)
\(F=2x+y\)đạt GTNN hay GTLN khi (d) là tiếp tuyến của (C).
\(I\left(1,2\right)\)là tâm của (C), \(R=\sqrt{5}\)là bán kính của (C).
\(d\left(I,d\right)=\frac{\left|2.1+2-F\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|F-4\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}F=-1\\F=9\end{cases}}\).
Vậy \(minF=-1,maxF=9\).