Chứng minh rằng với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
1
LS
Lê Song Phương
CTVHS
6 tháng 12 2021
Ta có: \(2x^2+4y^2+4xy-6x+10\)\(=x^2+4xy+4y^2+x^2-6x+9+1\)\(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\)
Vì \(\left(x+2y\right)^2\ge0;\left(x-3\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\)\(2x^2+4y^2+4xy-6x+10>0\left(đpcm\right)\)
PT
1
13 tháng 12 2020
\(=x^2+4y^2+4xy+x^2-6x+9+1=\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\)
Ta có: \(\left(x+2y\right)^2\ge0;\left(x-3\right)^2\ge0\left(\forall x;y\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\ge1>0\forall x;y\)
=> đpcm
T
Chứng minh rằng:
a, x^2-4x>-5 với mọi số thực x
b, Chứng minh 2x^2+4y^2-4x-4xy+5>0 với mọi số thực x;y
1
23 tháng 6 2021
a) Xét \(x^2-4x+4=\left(x-2\right)^2\ge0\)
<=> \(x^2-4x\ge-4>-5\)
b) \(2x^2+4y^2-4x-4xy+5\)
= \(\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2-4xy+4y^2\right)+1\)
= \(\left(x-2\right)^2+\left(x-2y\right)^2+1\ge1>0\)
LV
8 tháng 5 2017
\(\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{3}+\frac{y^2}{1}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{2+2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y+y\right)^2}{3+1}}=\frac{x+2y}{2}+\frac{x+2y}{2}=x+2y\)
T
28 tháng 6 2019
a) \(-\left(x^2-6x+10\right)=-\left(x^2-6x+9+1\right)=-\left[\left(x-3\right)^2+1\right]\le-1< 0\forall x\)
BĐT đúng
b) \(x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)
BĐT đúng
c)Dấu "=" ko xảy ra???
\(=\left(4x^2+2.2x.y+y^2\right)+2\left(2x+y\right)+1+2\)
\(=\left(2x+y\right)^2+2.\left(2x+y\right).1+1+1\)
\(=\left(2x+y+1\right)^2+1\ge1>0\) (đpcm)
18 tháng 9 2019
a. −x2 + 6x - 10
= −(x2 − 6x) − 10
= −(x2 − 2.x.3 + 32 − 9) − 10
= −(x − 3)2 + 9 − 10
= −(x − 3)2 −1
Vì (x − 3)2 ≥ 0 ∀ x ⇒ −(x − 3)2 ≤ 0 ⇒ −(x − 3)2 −1 ≤ −1
Vậy −(x − 3)2 −1 < 0 ⇒ −x2 + 6x - 10 luôn âm với mọi x
CT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)
\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)
\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)
\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)
\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)
CT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)
NN
2
18 tháng 5 2022
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(\forall x,y\))
-Vậy BĐT đã được c/m.
-Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
29 tháng 8 2017
Ta có : x2 + 2x + 2
= x2 + 2x + 1 + 1
= (x + 1)2 + 1 \(\ge1\forall x\)
Vậy x2 + 2x + 2 \(>0\forall x\)
RG
3 tháng 9 2018
Ta có : x2 + 2x + 2
=> x2 + 2x + 1 + 1
=> ( x + 1)2 + 1 > 1\(\forall x\)
Vậy x2 + 2x + 2 > \(0\forall x\)
4x2+4y2+4xy>6y−4(1)4x2+4y2+4xy>6y-4(1)
⇔4x2+4y2+4xy−6y+4>0(2)⇔4x2+4y2+4xy-6y+4>0(2)
⇔4x2+4xy+y2+3y2−6y+3+1>0⇔4x2+4xy+y2+3y2-6y+3+1>0
⇔(2x+y)2+3(y2−2y+1)+1>0⇔(2x+y)2+3(y2-2y+1)+1>0
⇔(2x+y)2+3(y−1)2+1>0⇔(2x+y)2+3(y-1)2+1>0
+)(2x+y)2≥0+)(2x+y)2≥0
3(y−1)2≥03(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2≥0→(2x+y)2+3(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2+1≥1>0→(2x+y)2+3(y-1)2+1≥1>0
BĐT(2) luôn đúng
→→ BĐT(1) luôn đúng
Vậy 4x2+4y2+4xy>6y−4
Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy
\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi xx, yy).
Vậy với mọi xx, yy ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy.