CMR : 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}\)
CM bằng phương pháp quy nạp toán học nha
nhớ quy nạp
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,\)
\(a,\) Sửa: \(A=10^n+72n-1⋮81\)
Với \(n=1\Leftrightarrow A=10+72-1=81⋮81\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow A=10^k+72k-1⋮81\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow A=10^{k+1}+72\left(k+1\right)-1\)
\(A=10^k\cdot10+72k+72-1\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-648k+81\\ A=10\left(10^k+72k-1\right)-81\left(8k-1\right)\)
Ta có \(10^k+72k-1⋮81;81\left(8k-1\right)⋮81\)
Theo pp quy nạp
\(\Rightarrow A⋮81\)
\(b,B=2002^n-138n-1⋮207\)
Với \(n=1\Leftrightarrow B=2002-138-1=1863⋮207\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow B=2002^k-138k-1⋮207\)
Với \(n=k+1\Leftrightarrow B=2002^{k+1}-138\left(k+1\right)-1\)
\(B=2002\cdot2002^k-138k-138-1\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+276138k+1863\\ B=2002\left(2002^k-138k-1\right)+207\left(1334k+1\right)\)
Vì \(2002^k-138k-1⋮207;207\left(1334k+1\right)⋮207\)
Nên theo pp quy nạp \(B⋮207,\forall n\)
\(2,\)
\(a,\) Sửa đề: CMR: \(1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Đặt \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n+1\right)\)
Với \(n=1\Leftrightarrow S_1=1\cdot2=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow S_k=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(S_{k+1}=1\cdot2+2\cdot3+...+k\left(k+1\right)+\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Thật vậy, ta có:
\(\Leftrightarrow S_{k+1}=S_k+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}+\left(k+1\right)\left(k+2\right)\\ \Leftrightarrow S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{3}\)
Theo pp quy nạp ta có đpcm
\(b,\) Với \(n=0\Leftrightarrow0^3=\left[\dfrac{0\left(0+1\right)}{2}\right]^2=0\)
Giả sử \(n=k\Leftrightarrow1^3+2^3+...+k^3=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=k+1\)
Cần cm \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Thật vậy, ta có
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3\\ =\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\\ =\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
a) \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)(@@)
+) Với n = 1 ta có: \(1.2=\frac{1.\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}\) đúng
=> (@@) đúng với n = 1
+) G/s (@@) đúng cho đến n
+) Ta chứng minh (@@ ) đúng với n + 1
Ta có: \(1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}\)
=> (@@) đúng với n + 1
Vậy (@@ ) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0
b) \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) (@)
Ta chứng minh (@) đúng với n là số tự nhiên khác 0 quy nạp theo n
+) Với n = 1 ta có: \(\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1}\) đúng
=> (@) đúng với n = 1
+) G/s (@) đúng cho đến n
+) Ta cần chứng minh (@) đúng với n + 1
Ta có: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^n-1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)
=> (@) đúng với n + 1
Vậy (@) đúng với mọi số tự nhiên n khác 0.
Ta sẽ chứng minh với \(n\ge1\)thì \(P_n=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)=\frac{-2n-1}{2n-1}\)
Với \(n=1\)mệnh đề đúng vì \(1-4=-3=\frac{-2.1-1}{2.1-1}\)
Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\)tức là \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với \(n=k+1\)tức là chứng minh \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}\)
Thật vậy \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}\)
\(=\frac{-\left(2k+1\right)}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}.\)
Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi \(n\ge1\)
Kí hiệu đăng thức cần chứng minh là (*)
+) Với n = 1 thì 1 = \(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) => (*) đúng
+) Giả sử (*) đúng với n = k , tức là: 1 + 2 + 3 + ....+ k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
Ta chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, tức là: 1 + 2 + 3+ ...+ k + (k+1) = \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)
Thật vậy, 1 + 2 + 3 + ....+ k + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)
=> (*) đúng với n = k+ 1
Vậy.....
1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n - 1 + 2) + ... (n:2 cặp)
= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) (n:2 cặp)
= (n + 1).n : 2 (đpcm)
23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ,mk nhớ có trog quyển này
Ta gọi A=1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)
3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+n.(n+1)(n+2-n+1)
=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2)
=> A=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Vậy 1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Với n=2 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n=3.4.5...4>2^2=4\)
=> bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)đúng với n=2
Gỉa sử bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k (\(k\ge2;k\in N\)), khi đó ta có:
\(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh bất đẳng thức trên đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh \(\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...2\left(k+1\right)>2^{k+1}\)
Ta có: \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k.\left(2k+1\right)>2^k\)
\(\Rightarrow2.\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+1\right)>2.2^k\)
\(\Rightarrow\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)>2^{k+1}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k+1
Vậy với mọi số tự nhiên n>1 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)
Đặt A=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)
=>3A=(3−0).1.2+(4−1).2.3+...+(n+2−n+1).n(n+1)
=>3A=1.2.3−0.1.2+2.3.4−1.2.3+...+n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)
=>3A=n(n+1)(n+2)
=>A=n(n+1)(n+2):3(đpcm)