a) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. CMR: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)* Áp dụng : Cho Góc xOy =30 độ, A và B lần lượt là 2 điểm trên Ox và Oy sao cho AB=1.Tính giá trị lớn nhất...

1

PN

Phước Nguyễn

10 tháng 7 2016

Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.

Ta có:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm

trong đó với , ta có:

Tương tự, ta có:

Cộng ba bất đẳng thức và , ta được:

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau: (bất đẳng thức Cauchy cho ba số )

Hay

Mà đã được chứng minh ở câu nên luôn đúng với mọi

Dấu xảy ra

Vậy,

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G . CMR :\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a,CA=b,AB=c....

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

1

H

haphuong01

31 tháng 7 2016

Hỏi đáp Toán

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

pn ơi lm hộ t nốt bài 2 câu b,c đc k

CS

Cuồng Song Joong Ki

31 tháng 7 2016

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc vs nhau tại G . CMR :\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)

Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a, CA=b, AB=c. CMR :

a.\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

b.\(sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

c.\(sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)

2

TN

Trần Nhật Huy

31 tháng 7 2016

Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)

cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)

3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)

từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)

T

Tuấn

31 tháng 7 2016

\(\cot B+\cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{BC}{3GH}\ge\frac{2GH}{3GH}=\frac{2}{3}\)
VỚI D LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ A XUÔNG BC , G LÀ TRỌNG TÂM , H LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ G XUỐNG BC
B2 THÌ GIẢI BÌNH THƯỜNG =='. ĐỌC THÊM NCPT 9 NHÉ

CC

chi chăm chỉ

3 tháng 8 2016

Câu hỏi hay

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . CMR:

\(1< \frac{\sin A}{\sin B+\sin C}+\frac{\sin B}{\sin C+\sin A}+\frac{\sin C}{\sin A+\sin B}< 2\)

3

BT

Bùi Thị Vân

4 tháng 8 2016

đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Đúng(1)

LT

lê thị ngọc huyền

4 tháng 8 2016

câu này khó ghê

LT

Loan Trinh

10 tháng 10 2018

cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D . E,F là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. Đặt AC=b, AB=c, BC=a, AD=d

a/tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF theo d

b/CMR :\(\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

c/ CMR :\(\frac{1}{\sin\frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin\frac{C}{2}}>6\)

3 cho 2 phân số bằng nhau :\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)chứng tỏ \(\frac{b-a}{b}-\frac{d-c}{d}\)4 a) vẽ tam giác ABC biết 3 cạnh BC=4cm,AB=AC=3cm,b) cho 2 góc kề bù xoy và yoz . Trên tia ox lấy điểm M trên tia oz lấy điểm A sao cho OM=3cm;tính độ dài đoạn MN .gọi ox" và oy" lần lượt là tia phân giác của các góc xoy va yoz . tính...

0

N

nguyenthigiang

17 tháng 4 2016

#Toán lớp 6

0

NH

Nguyễn Hoàng Anh

27 tháng 8 2016

Cho tam giác ABC nhọn có: góc A bằng 60 độ; BC= \(\sqrt{\sqrt{3}-1}\)cm; diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{\sqrt{3}}{6}\). Sin(B)+Sin(C)=\(\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}\).Tính các góc B và C

0

ND

Nguyễn Đức Tố Trân

17 tháng 9 2015

cho góc xOy=30 độ điểm A và B lần lượt ở trên hai tia Ox và Oy sao cho AB =1.Tính giá trị lớn nhất của đoạn OB

0

LT

Lê Thành An

15 tháng 10 2019

cho tam giác abc nhọn, đường cao ah. gọi d,e làn lượt là hình chiếu của h trên ab và ac.

a) CM: \(\frac{Saed}{Sabc}=\sin^2B\cos^2C\)

b) CM \(DE=AH\sin A\)

c) AI là phân giác góc A và góc A= 60 độ

CM \(\frac{\sqrt{3}}{AI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

Giúp mình câu c

Cho tam giác ABC có \(\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}\) và \(a = BC = 12\;cm\).a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\;\)cho bởi công thức \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\)b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác...

0

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

21 tháng 9 2023

#Toán lớp 11

1

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

21 tháng 9 2023

a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\) thay vào \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) ta có:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm)

b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}\)

\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3 \)