Question

[Hoàng Tử Hà]

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a,SA=SD=3a, SB=SC=\(3a\sqrt{3}\) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP=2a. Tinh diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MNP)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi $Q$ là điểm nằm trên $DC$ sao cho $AD\parallel PQ$

Khi đó: $MN\parallel AD\parallel PQ$ nên $Q\in (MNP)$

$(MNPQ)$ chính là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MNP)$
Giờ ta cần tìm diện tích hình thang $MNPQ$

$SA=SD; DB=SC; AB=CD$ nên $\triangle SAB=\triangle SDC$

Tương ứng ta có $MP=NQ$

$MN=\frac{AD}{2}=\frac{3a}{2}$

$PQ=AD=3a$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.

Áp dụng định lý cos:

$\cos \widehat{SAB}=\frac{SA^2+AB^2-SB^2}{2SA.AB}=\frac{MA^2+AP^2-MP^2}{2MA.AP}$

$\Leftrightarrow \frac{9a^2+9a^2-27a^2}{2.3a.3a}=\frac{\frac{9}{4}a^2+4a^2-MP^2}{2.\frac{3}{2}a.2a}$

$\Rightarrow MP^2=\frac{37}{4}a^2$

$\Rightarrow h_{MNPQ}=\sqrt{MP^2-(\frac{PQ-MN}{2})^2}=\frac{\sqrt{139}}{4}a$

Diện tích thiết diện:

$S=\frac{MN+PQ}{2}.h=\frac{9\sqrt{139}}{16}a^2$