Question

[ღHiền ღ]

Ai đó giúp mình với ạ, cảm ơn mn nhiều !

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\left\{{}\begin{matrix}SO\perp BC\\SO\perp CA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SO\perp\left(ABC\right)\)

\(AA'=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AA'=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow M\) nằm trên đoạn thẳng OA'

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và AC lần lượt tại D và E

Trong mp (SAA'), qua M kẻ đường thẳng song song SO cắt SA' tại F

Trong mp (SBC), qua F kẻ đường thẳng song song BC cắt SB và SC lần lượt tại G và H

\(\Rightarrow\) Hình thang DEHG là thiết diện của (P) và chóp

\(FM||SO\Rightarrow FM\perp\left(ABC\right)\Rightarrow FM\perp ED\)

Áp dụng định lý Talet cho tam giác ABC:

\(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AM}{AA'}\Rightarrow DE=\dfrac{BC.AM}{AA'}=\dfrac{a.x}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2x\sqrt{3}}{3}\)

Talet tam giác SOA':

\(\dfrac{FM}{SO}=\dfrac{MA'}{OA'}\Rightarrow FM=\dfrac{SO.MA'}{OA'}=\dfrac{2a.\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-x\right)}{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}=6a-4\sqrt{3}x\)

Talet tam giác SBC:

\(\dfrac{GH}{BC}=\dfrac{SF}{SA'}=1-\dfrac{FA'}{SA'}=1-\dfrac{FM}{SO}=1-\dfrac{6a-4\sqrt{3}x}{2a}=\dfrac{2\sqrt{3}x-2a}{a}\)

\(\Rightarrow GH=2\sqrt{3}x-2a\)

\(S_{DEHG}=\dfrac{1}{2}\left(DE+GH\right).FM=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}x-2a\right)\left(6a-4\sqrt{3}x\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(4\sqrt{3}x-3a\right)\left(6a-4\sqrt{3}x\right)\le\dfrac{1}{12}\left(4\sqrt{3}x-3a+6a-4\sqrt{3}x\right)^2=\dfrac{9a^2}{12}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(4\sqrt{3}x-3a=6a-4\sqrt{3}x\Leftrightarrow x=\dfrac{9a}{8\sqrt{3}}=\dfrac{3a\sqrt{3}}{8}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]