Cho tứ giác $A B C D$. Gọi hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điêm của các đoạn $A D, B C$. a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B} \overrightarrow{D C})=\dfr...

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}$

$=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)$

$=2\overrightarrow{MN}$

$\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}$

Đúng(1)

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

24 tháng 3 2022

Cho cho tứ giác lồi $A B C D$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ và $G$ là trung điểm $E F$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}$.

b) $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$

#Toán lớp 10

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

28 tháng 3 2022

Cho tam giác $A B C$ có trung tuyên $A M$. Gọi $I$ là trung điếm của $A M$ và $K$ là điếm trên cạnh $A C$ sao cho $A K=\dfrac{1}{3} A C$. Chứng minh rằng ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng. Ta có $\overrightarrow{B I}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B M})=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$

#Toán lớp 10

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

24 tháng 3 2022

Câu hỏi hay

Cho tam giác $A B C$. Vē $D$ đối xứng với $A$ qua $B, E$ đối xứng với $B$ qua $C$ và $F$ đối xứng với $C$ qua $A$. Gọi $G$ là giao điểm của trung tuyến $A M$ của tam giác $A B C$ với trung tuyến $D N$ của tam giác $D E F$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm $G A$ và $G D$. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M}$. b) $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

14

T

T҉R҉ùM҉C҉U҉ốI҉iⁱ︵²ᵏ⁶|╰‿╯☪áℳậ℘

24 tháng 3 2022

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)

Đúng(1)

T

T҉R҉ùM҉C҉U҉ốI҉iⁱ︵²ᵏ⁶|╰‿╯☪áℳậ℘

24 tháng 3 2022

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)

Đúng(1)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

27 tháng 12 2023

Bài 4. (2,5 điểm ) Cho hình chữ nhật $A B C D$ tâm $O$, có $A B=4 ; \, A D=2$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $C D$ sao cho $D M=2 M C$. 1) Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A D}$. 2) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A C}. \overrightarrow{A D}$. 3) Gọi $P$ là điểm thay đổi sao cho $\dfrac{1}{2 P A^{2}+P B^{2}+2 P C^{2}+P D^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định vị trí của điểm $P$ khi...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

MH

Minh Hiếu

27 tháng 12 2023

1) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$

$=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}$

$=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)$

$=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ (đpcm)

2) $AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2}$

$=\dfrac{20+4-16}{2}=4$

3) Gọi O là tâm hình chữ nhật

$\Rightarrow2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

$2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2$

$=2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OD}\right)^2$

$=6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2+2\overrightarrow{PO}\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=$$6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2$

$=6PO^2+6OA^2\left[OB=OD=OA=OC\right]$

$=6PO^2+6\left(\sqrt{5}\right)^2$

$=6PO^2+30\ge30$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow O\equiv P$

$\Rightarrow\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}\le\dfrac{1}{30}$

$Max\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow P\equiv O$

Đúng(2)

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

24 tháng 3 2022

Cho hình bình hành $A B C D$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$. Điểm $I$ là giao điểm của $A M$ và $B N, K$ là giao điểm của $D M$ và $C N$. Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{N C}$, $\overrightarrow{D K}=\overrightarrow{N I}$.

#Toán lớp 10

0