Cho tam giác $A B C$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B M} \overrightarrow{C N} \overrightarrow{A P}=\overright...

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

28 tháng 3 2022

Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $\mathrm{H}$, trọng tâm $\mathrm{G}$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{O}$. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{H A}+\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{H C}=2 \overrightarrow{H O}$.

b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}$.

c) $\overrightarrow{G H}+2 \overrightarrow{G O}=\overrightarrow{0}$.

1

ND

Nguyễn Đình Chí

28 tháng 3 2022

Giải thích các bước giải:

a) Kẻ đường kính BF.

Ta có: AH⊥BC,CF⊥BC⇒AH//CFAH⊥BC,CF⊥BC⇒AH//CF

Lại có AF⊥AB,CH⊥AB⇒AF//CHAF⊥AB,CH⊥AB⇒AF//CH

⇒AHCF⇒AHCF là hình bình hành.

⇒−−→AH=−−→FC⇒AH→=FC→.

Lại có OIOI là đường trung bình của tam giác BCF nên −→OI=12−−→FCOI→=12FC→

Vậy −−→AH=−−→FC=2−→OIAH→=FC→=2OI→.

b) Ta có: −−→OH=−−→OA+−−→AH=−−→OA+2−→OI=−−→OA+−−→OB+−−→OCOH→=OA→+AH→=OA→+2OI→=OA→+OB→+OC→

c) Do GG là trọng tâm tam giác ABC nên−−→OA+−−→OB+−−→OC=3−−→OG⇒−−→OG=13(−−→OA+−−→OB+−−→OC)=13−−→OHOA→+OB→+OC→=3OG→⇒OG→=13(OA→+OB→+OC→)=13OH→

Vậy ba điểm O,H,GO,H,G thẳng hàng.

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

28 tháng 3 2022

Cho tam giác $A B C$ với các cạnh $A B=c, B C=a, C A=b$. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng $a \overrightarrow{I A}+b \overrightarrow{I B}+c \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$.

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

28 tháng 3 2022

Cho hai tam giác $A B C$ và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm $\mathrm{G}$. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{G G_{1}}+\overrightarrow{G G_{2}}+\overrightarrow{G G_{3}}=\overrightarrow{0}$

0

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

25 tháng 3 2022

Cho hình bình hành $A B C D$ tâm $O . \mathrm{M}$ là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$ b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ c) $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M D}$

1

L

✎﹏l๏gคภlєє︵²ᵏ¹⁰

28 tháng 3 2022

Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$. a) Chứng minh tứ giác...

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

13 tháng 5 2021

#Toán lớp 9

11

PT

Phương Thảo

13 tháng 5 2021

a. Xét (O) , có:
CD $\perp$AB = {H}
=> $\widehat{CHA}=90^o\Rightarrow\widehat{CHE}=90^o$

Có: $\widehat{CMD}$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD
=> $\widehat{CMD}=90^o\Rightarrow\widehat{CME}=90^o$

Xét tứ giác CMEH, có:
$\widehat{CME}+\widehat{CHE}=90^o+90^o=180^o$

2 góc $\widehat{CME}$và $\widehat{CHE}$là 2 góc đối nhau
=> CMEH là tứ giác nội tiếp (đpcm)

LT

Lê Thanh Thảo

15 tháng 5 2021

Câu a: Có góc CHE=90 độ (vì CD$\perp AB$ tại H)

Góc CMD =90 độ(góc nt chắn nửa đt)

Mà góc CHE và góc CMD ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác CMEH nội tiếp

Câu b:

Xét $\Delta NACva\Delta NMB$ có :

Góc N chung

Góc NCA = góc NBM (cùng chắn cung MA)

⇒ $\Delta NAC$ đồng dạng $\Delta NBM$ (góc góc)

⇒$\dfrac{NM}{NA}$=$\dfrac{NB}{NC}$⇔NM.NC=NA.NB

Câu c:

Có góc PMA=90 độ ( góc nt chắn nửa đt)→PM$\perp$AK

Mà IK$\perp$AK

⇒IK song song với MP (từ vuông góc đến song song

Cho tứ giác $A B C D$. Gọi hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điêm của các đoạn $A D, B C$. a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$. b) Gọi $I$ là trung điểm của $M N$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I...

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

24 tháng 3 2022

13

HT

Hoàng Tiến Đạt

24 tháng 3 2022

mình không biết

NH

Nguyễn Hữu Nam Dương

24 tháng 3 2022

mik cg ko bik nha a hihi

Cho tam giác $A B C$. Vē $D$ đối xứng với $A$ qua $B, E$ đối xứng với $B$ qua $C$ và $F$ đối xứng với $C$ qua $A$. Gọi $G$ là giao điểm của trung tuyến $A M$ của tam giác $A B C$ với trung tuyến $D N$ của tam giác $D E F$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm $G A$ và $G D$. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M}$. b) $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N...

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

24 tháng 3 2022

Câu hỏi hay

14

T

T҉R҉ùM҉C҉U҉ốI҉iⁱ︵²ᵏ⁶|╰‿╯☪áℳậ℘

24 tháng 3 2022

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)

Đúng(1)

T

T҉R҉ùM҉C҉U҉ốI҉iⁱ︵²ᵏ⁶|╰‿╯☪áℳậ℘

24 tháng 3 2022

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)

Đúng(1)

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

28 tháng 3 2022

Cho tam giác $A B C$. Hai điểm $M, N$ được xác định bởi hệ thức $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{N A}-3 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng $M N / / A C$.

0

MT

Mark Tuan

25 tháng 7 2018

Cho tam giác ABC, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

a, $\overrightarrow{\text{Ạ}N}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}$

b, $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$

1

H

Huyền

7 tháng 10 2019

$\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

$\overrightarrow{BP}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}$

$\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}}{2}$

$\Rightarrow\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\overrightarrow{0}$