cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn : a^2 +b^2 +1=2(ab+a+b) . CM : a và b là 2 số chính phương liên tiếp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
28 tháng 7 2016
Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)-2a+2b+1-4b=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2-2\left(a-b\right)+1=4b\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b-1\right)^2=4b\) \(\left(1\right)\)
Do đó \(4b\)là một số chính phương, mà 4 là số chính phương suy ra b là số chính phương.
Đặt \(b=x^2,\)thay vào \(\left(1\right)\): \(\left(a-x^2-1\right)^2=4x^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-x^2-1\right)^2=\left(2x\right)^2\)
* Xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: \(a-x^2-1=2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)
Ta có \(b=x^2\)và \(a=\left(x+1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.
- Trường hợp 2: \(a-x^2-1=-2x\)\(\Leftrightarrow\)\(a=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)
Ta có \(b=x^2\)và \(a=\left(x-1\right)^2\)\(\Rightarrow\)\(a\)và \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.
Vậy \(a\)và \(b\)là 2 số chính phương liên tiếp.
27 tháng 5 2021
thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc
27 tháng 5 2021
Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).
+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)
Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).
Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)
Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).
Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.
Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.
Vậy ....
12 tháng 8 2018
Mọi người giúp em với, em cần gấp lắm ạ. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ
Em không chắc đâu ạ.
\(PT\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab-2a-2b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-2\left(a+b\right)+1=0\)
Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(a+b\right)^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4ab\ge0\Leftrightarrow ab\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)
Với a = 0 thì \(b^2-2b+1=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow b=1\)
Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (1)
Tương tự ta cũng có với b = 0 thì a = 1.
Khi đó a,b là hai số chính phương liên tiếp (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Ơ chết,hình như mình sai thì phải