Question

[123456]

cho abc\(\ne0\)và \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\end{cases}}\)

tính \(a^2+b^2+c^2\)

Answer 1

[Mr Lazy]

Ta có: \(c=-a-b\), tính được các đại lượng: 

\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)

\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-\left(a+b\right)^5=-5ab\left(a^3+b^3\right)-10a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(=-5ab\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-10a^2b^2\left(a+b\right)\)

2 biểu thức trên bằng nhau nên:

\(5ab\left(a+b\right)\left[a^2+b^2-ab+2ab\right]=3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=0\text{ (1)}\\5\left(a^2+b^2+ab\right)=3ab\text{ (2)}\end{cases}}\text{ }\left(do\text{ }ab\ne0\right)\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow5a^2+5b^2-2ab=0\Leftrightarrow4a^2+4b^2+\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=0\) --> loại

Vậy \(a+b=0\)

\(\Rightarrow c=-a-b=0\)--> loại

Vậy ko tồn tại a, b, c thỏa giả thiết bài toán