Question

[Kimian Hajan Ruventaren]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. AD = 2a. AB = 4a. SD = 5a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC, N thuộc SB sao cho SN= 1/3 SB. Tính khoảng cách từ N đến mp (SMD)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Nối DM và AB kéo dài cắt nhau tại E

Do BM song song và bằng 1 nửa AD \(\Rightarrow BM\) là đường trung bình tam giác ADE

\(\Rightarrow AE=2BE\Rightarrow d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}BN\cap\left(SMD\right)=S\\NS=\dfrac{1}{3}BS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)

Từ A kẻ AF vuông góc MD (F thuộc MD), từ A kẻ AH vuông góc SF (H thuộc SF)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SMD\right)\Rightarrow AH=d\left(A:\left(SMD\right)\right)\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông ADE:

\(\Rightarrow AF=\dfrac{AD.AE}{DE}=\dfrac{AD.2AB}{\sqrt{AD^2+\left(2AB\right)^2}}=\dfrac{8a\sqrt{17}}{17}\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{21}\)

Hệ thức lượng: \(AH=\dfrac{SA.AF}{\sqrt{SA^2+AF^2}}=...\)

\(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}AF=...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]