cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn:
\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\)\(\frac{2016a-b-c}{a}\)
tính: A = \(\left(1+\frac{a}{b}\right).\left(1+\frac{b}{c}\right).\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 12 2017
ADTCCDTSBN,TC :
\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}\)
\(=\frac{\left(2016c-a-b\right)+\left(2016b-a-c\right)+\left(2016a-b-c\right)}{c+b+a}=\frac{2014.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)
\(\frac{2016c-a-b}{c}=2014\Rightarrow2016c-a-b=2014c\Rightarrow2c=a+b\)( 1 )
\(\frac{2016b-a-c}{b}=2014\Rightarrow2016b-a-c=2014b\Rightarrow2b=a+c\)( 2 )
\(\frac{2016a-b-c}{a}=2014\Rightarrow2016a-b-c=2014a\Rightarrow2a=b+c\)( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow\)a = b = c
\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)+\left(1+1\right)=2^3=8\)
22 tháng 12 2016
+ Nếu a+b+c=0 => a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)
A = a+b/b . (b+c/c) . (c+a/a)
A = -c/b . (-a/c) . (-b/a)
A = -1
+ Nếu a+b+c khác 0
Áp dụng t/c của dãy tỉ số = nhau ta có:
2016c-b-a/c = 2016b-a-c/b = 2016a-b-c/a
= (2016c-b-a)+(2016b-a-c)+(2016a-b-c)/a+b+c
= 2015(a+b+c)/a+b+c = 2015
=> 2015c = 2016c-b-a; 2015b=2016b-a-c; 2015a = 2016a-b-c
=> c-b-a=0; b-a-c=0; a-b-c=0
=> c=a+b; b=a+c; a=b+c
A = a+b/b . (b+c/c) . (c+a/a)
A = c/b . a/c . b/a = 1
KK
3 tháng 1 2017
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2016c-a-b}{c}=\frac{2016b-a-c}{b}=\frac{2016a-b-c}{a}=\frac{2016c-a-b+2016b-a-c+2016a-b-c}{a+b+c}=\frac{2016\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2014\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2014\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{2016c-a-b}{c}=2014\\\frac{2016b-a-c}{b}=2014\\\frac{2016a-b-c}{a}=2014\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}2016c-a-b=2014c\\2016b-a-c=2014b\\2016a-b-c=2014a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=2014c-2016c\\-a-c=2014b-2016b\\-b-c=2014a-2016a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}-a-b=-2c\\-a-c=-2b\\-b-c=-2a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\) (1)
Ta có \(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)
Thế (1) vào biểu thức ta có :
\(A=\frac{a+b}{b}.\frac{c+b}{c}.\frac{a+c}{a}\)
\(\Rightarrow A=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}\)
\(\Rightarrow A=2.2.2=8\)
Vậy biểu thức A=8
KN
28 tháng 8 2020
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
15 tháng 11 2017
ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\) (vì abc=1) (*)
Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\) (vì abc=1)
=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\) (**)
Từ (*), (**)=> đpcm
PG
12 tháng 2 2020
Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3
\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1
Công dãy lại => hệ số : \(k=2014\)
Cách đơn giảii không hiệu quả, Thế lại=> a,b,c thay vào ra A