Question

[Phạm Thị Hằng]

•   Cho tam giác ABC vuông tại A và AC>AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tương ứng tại P,Q. Gọi F là trung điểm của AC, đường thẳng FI cắt cạnh AB tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường trung trực cạnh AC tại N.

                   a/ Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp.

                   b/ Chứng minh ba điểm P,Q,N thẳng hàng.

• Trên mặt phẳng cho 2010 điểm điểm không thẳng hàng. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất một đường tròn đi qua 3 điểm trong số các điểm đã cho mà nó khg chứa bên trong bất kì điểm nào trong số các điểm còn lại.​​

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Giải bài dưới.

Trong 2010 điểm không thẳng hàng này luôn tôn tại 2 điểm A,B sao cho 2008 điểm còn lại cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB.

Ta lần lược nối 2008 điểm còn lại với 2 điểm A, B thì sẽ tạo được 2008 góc: AC₁ B, AC₂ B,...,AC₂₀₀₈ B.

Vì số góc là hữu hạn nên luôn tồn tại góc AC​ _k​ B có số đo lớn nhất. Khi đó đường tròn đi qua 3 điểm đó là đường tròn cần tìm

Answer 2

[Trần Quốc Đạt]

Mình xin đề xuất bài toán tổng quát như sau (à với lại đề bên trên có một lỗi nhỏ xíu):

Cho tam giác \(ABC\) bất kì (ko cần vuông nữa). Đường tròn nội tiếp tâm \(I\)tiếp xúc \(AB,AC\) tại \(P,Q\). Gọi \(F\) là trung điểm \(AC\), và gọi \(d\) là đường trung bình qua \(F\) của tam giác \(ABC\).

Chứng minh: \(d,PQ,BI\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(QIC\) đồng quy tại một điểm.

-----

P/S: Trước mắt mình xin nói sơ hướng giải quyết, chắc ngày mai nếu bạn vẫn ko làm được thì mình hãy đăng lời giải cụ thể.

Bước 1: \(BI\) cắt đường tròn \(\left(QIC\right)\) tại \(L\). Suy ra \(\widehat{BLC}\) vuông.

Bước 2: Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Hãy chứng minh \(LM\) song song với \(BC\). Suy ra \(L\in d\).

Bước 3: Hãy chứng minh \(\widehat{AQP}=\widehat{LQC}\). Lưu ý rằng \(\widehat{LQC}=\widehat{LIC}\) là góc ngoài của tam giác \(BIC\), còn \(\widehat{AQP}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\).

Bước 4: Suy ra \(L\in PQ\) và ta có điều phải chứng minh.

(Mình xin lỗi vì ko biết các điểm \(E,F\) BAN ĐẦU có ý nghĩa gì. Nếu được bạn xem lại đề giúp.)