Tam giác ABC không tù , thỏa mãn điều kiện
\(\cos2A+2\sqrt{2}\cos B+2\sqrt{2}CosC=3\)
Tính ba góc của tam giác ABC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HY
7 tháng 4 2017
Có: cos 2A + 2√2.cos B + 2√2.cos C = 3
⇔2cos²A - 1 + 2√2.2.cos[(B + C)/2] . cos[(B - C)/2] - 3 = 0
⇔2cos²A + 4√2.sin (A/2) . cos[(B - C)/2] - 4 = 0(1)
Ta thấy: sin(A/2) > 0 ; cos[(B - C)/2] ≤ 1
⇒VT ≤ 2cos²A + 4√2.sin(A/2) - 4
Vì tam giác ABC không tù nên 0 ≤ cos A < 1
⇒cos²A ≤ cos A
⇒VT ≤ 2cos A + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ 2.[1 - 2.(sin A/2)²] + 4√2.sin(A/2) - 4
⇒VT ≤ -4.(sin A/2)² + 4√2.sin(A/2) - 2
⇒VT ≤ -2(√2.sin A/2 - 1)² ≤ 0(2)
Kết hợp (1)(2) thì đẳng thức xảy ra khi tất cả các dấu = ở trên xảy ra
⇔cos [(B - C)/2] = 1 và cos²A = cos A và √2.sin A/2 - 1 = 0
⇔góc B = góc C và cos A = 0 và sin A/2 = 1/√2
⇔ góc B = góc C và góc A = 90 độ
Vậy góc A = 90 độ, góc B = góc C = 45 độ
KB
8 tháng 6 2021
Ta có : \(cos2A+2\sqrt{2}\left(cosB+cosC\right)=3\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^2A+2\sqrt{2}.2.cos\left(\dfrac{B+C}{2}\right).cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow2sin^2A-4\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+2=0\)
\(\Leftrightarrow sin^2A-2\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+1=0\)
\(\Delta\) ABC không tù nên \(cos\dfrac{A}{2}\ge cos45^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra : VT \(\ge sin^2A-4.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+1=K\)
Thấy : \(K=sin^2A-2.sinA.cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)+cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)^2+1-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)^2\)
\(=\left(sinA-cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\right)^2+sin^2\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\ge0\)
Suy ra : \(VT\ge K\ge0=VP\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA=cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\\sin\left(\dfrac{B-C}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinA=cos0^o=1\\B=C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{\pi}{2}\\B=C=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\) ( do \(A+B+C=\pi\) )
Vậy ...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 4 2021
\(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\Rightarrow tan\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}}{1-tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}}=cot\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{tan\dfrac{C}{2}}\)
\(\Rightarrow tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}=1-tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}\)
\(\Rightarrow tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}=1\)
Ta có:
\(tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}\ge\sqrt{3\left(tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}\right)}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(A=B=C\) hay tam giác ABC đều
24 tháng 10 2016
Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)
Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)
Suy từ giả thiết :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.
<=> 2.cos2A - 1 + 2\(\sqrt{2}\). (cosB + cosC) = 3
<=> 2.cos2A + 2\(\sqrt{2}\). 2. cos\(\frac{B+C}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 = 0
<=> 2. cos2A + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 = 0 (Do cos\(\frac{B+C}{2}\)= cos\(\frac{180^o-A}{2}\)= sin \(\frac{A}{2}\))
Nhận xét: tam giác ABC tù nên cosA > 0; Mà cosA \(\le\) 1 => cos2A \(\le\) cosA
Có: cos\(\frac{B-C}{2}\) \(\le\) 1
=>0 = 2. cos2A + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4 \(\le\) 2cosA + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\). cos\(\frac{B-C}{2}\) - 4
= 2.(1 - 2sin2 \(\frac{A}{2}\)) + 4\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\) - 4 = -2. (2sin2 \(\frac{A}{2}\)- 2\(\sqrt{2}\).sin \(\frac{A}{2}\) + 1) = -2. \(\left(\sqrt{2}sin\frac{A}{2}-1\right)^2\)\(\le\)0
=> \(\sqrt{2}sin\frac{A}{2}-1=0\) <=> \(sin\frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)<=> A/2 = 45o
=> góc A = 90o
Dấu "=" xảy ra <=> cos\(\frac{B-C}{2}\) = 1 => B - C = 0 => B = C mà A = 90o
=> B = C = 45o
vậy..........