Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{3}{x\sqrt{x}}=3\sqrt[3]{y^2z^2t^2}\le yz+zt+ty\)
\(\Sigma\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}\ge\Sigma\frac{1}{\frac{3x^3}{x\sqrt{x}}}=\Sigma\frac{\sqrt{x}}{3x^2}\ge\frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{\sqrt{xyzt}}{\left(xyzt\right)^2}}=\frac{4}{3}\)
Câu hỏi của Ryan Park - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Chứng minh đc:
\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
\(\ge\frac{4}{3}.\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}\)
a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)
\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)
\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)
Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)
Tìm nốt y và thay vào tìm ra x
a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)
\(\Leftrightarrow0< y\le8\)
\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt
Câu 2/
\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=1\)
Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x^2\ne0\\x^2+y^2\ne0\\x^2+y^2+z^2\ne0\end{cases}}\)
Xét \(x^2,y^2,z^2\ge1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\x^2+y^2\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x^2\left(x^2+y^2\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{6}\left(2\right)\\\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{3}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\frac{1}{x^2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(x^2=y^2=z^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=?\)
Xét \(\hept{\begin{cases}x^2\ge1\\y^2=z^2=0\end{cases}}\) thì ta có
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^4}=1\)
\(\Leftrightarrow x^4=3\left(l\right)\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại: \(\hept{\begin{cases}x^2,y^2\ge1\\z^2=0\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}x^2,z^2\ge1\\y^2=0\end{cases}}\)
Bài 2/
Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{t}+\frac{t}{x}\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{t}.\frac{t}{x}}=4>3\)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $A$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A[x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)]\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2\)
Vì $xyzt=1$ nên:
\(x(yz+zt+ty)+y(xz+zt+xt)+z(xt+yt+xy)+t(xy+yz+xz)=\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Do đó:
$A. 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)^2$
$\Rightarrow A\geq \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{3}$
Áp dụng BĐT AM-GM: \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=4$
Vậy $A\geq \frac{4}{3}$ (đpcm)
Ta đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\) ( a, b, c, d >0 )
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
\(VT=\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{a+c+d}{acd}}+\frac{c^3}{\frac{a+b+d}{abd}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\frac{a^3}{\frac{a\left(b+c+d\right)}{abcd}}+\frac{b^3}{\frac{b\left(a+c+d\right)}{abcd}}+\frac{c^3}{\frac{c\left(a+b+d\right)}{abcd}}+\frac{d^3}{\frac{d\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)
\(=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{3}=VP\)
Vậy ta đã chứng minh được
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Vậy :
\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = t = 1
Hãy tích nếu như bạn thông minh
Ai ko tích là bình thường
Còn ai dis là "..."
Ta có : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy-\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Rightarrow xy+z+1\ge x+y+z\Rightarrow\frac{y}{xy+z+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{x}{xz+y+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{z}{yz+x+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng lại,ta được :
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)( 1 )
Mà \(x+y+z\le3\Rightarrow VP=\frac{3}{x+y+z}\ge1\)( 2 )
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra x = y = z = 1
Vậy ...
Áp dụng bất đẳng thứ Cauchy (AM-GM):
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}}=3\sqrt[3]{xyz}\)
Mà: \(0\le xyz\le1\Leftrightarrow xyz=1\)
Từ đó: \(\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{z}\\\frac{xy}{z}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{z^2}}\) (1)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}yz=\frac{1}{x}\\\frac{yz}{x}\end{cases}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}}\) (2)
Và: \(\hept{\begin{cases}zx=\frac{1}{y}\\\frac{zx}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{1}{y^2}\) (3)
Từ trên (1)(2)(3): \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\) (Dạng Bunhiacopxki)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Do vai trò của \(x,\)\(y,\)\(z\) là như nhau nên giả sử \(z\ge y\ge x\ge1.\)
Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp:
\(-\) Nếu \(x=1\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) ( vô nghiệm)
\(-\) Nếu \(x=2\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\)\(2y+2z=yz\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)=4\)
Mà \(0\le y-2\le z-2\)và \(4⋮\left(y-2\right),\) \(4⋮\left(z-2\right)\)
Do đó ta có các trường hợp: \(\hept{\begin{cases}y-2=1\rightarrow y=3\\z-2=4\rightarrow z=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}y-2=2\rightarrow y=4\\z-2=2\rightarrow z=4\end{cases}}\)
\(-\) Nếu \(x=3\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\) + Nếu \(y=3\) thì \(z=3\)
+ Nều \(y\ge4\) thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}< \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm
\(-\)Nếu \(x=4\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}< 1\) \(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm
Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)
Không mất tính tổng quát ta giả sử
\(x\ge y\ge z>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)
\(\Rightarrow z\le3\)
\(\Rightarrow z=1;2;3\)
*Với z = 1 thì
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\)(sai vì x, y nguyên dương)
*Với z = 2 thì
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow y\le4\)
\(\Rightarrow y=1;2;3;4\)
+Với y = 1
\(\Rightarrow\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\)(loại)
+Với y = 2 thì
\(\Rightarrow\frac{1}{x}=0\)(loại)
+Với y = 3 thì
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow x=6\)
+Với y = 4 thì
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x=4\)
*Với z = 3 thì
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow y\le3\)
\(\Rightarrow y=1;2;3\)
+ Với y = 1 thì
\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}\)(loại)
+ Với y = 2 thì
\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow x=6\)
+ Với y = 3 thì
\(\frac{1}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x=3\)
Tới đây thì bạn tự kết luận nhé
