Question

[Đoàn Đức Hà]

(2,0 điểm)

1. Trong cùng mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol  $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=x+2$. Tìm tọa độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$. 

2. Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=2m\\x+my=m+1.\end{matrix}\right.\)

Tìm $m$ để hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$ mà cả $x$ và $y$ đều nhận giá trị nguyên.

Answer 1

[hnamyuh]

1) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : 

$x^2 = x + 2 ⇔ x^2 - x - 2 = 0 ⇔ x = 2$ hoặc $x = 1$

Với $x = 1, y = 1^2 = 1$ ; $x = 2, y = 2^2 = 4$

Vậy tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là hai điểm có tọa độ $(1;1$ và $(2;4)$

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=2m^2\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1\\y=-mx+2m\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $m^2 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1$ và $m ≠ -1$

Suy ra : 

$x = \dfrac{2m^2 - m - 1}{m^2 - 1} = \dfrac{2m+1}{m+1} = 2 - \dfrac{1}{m+1}$

Do x nhận giá trị nguyên nên $(m+1) ∈ Ư(1) = {1,-1}$

Suy ra : m = 0 hoặc m = -2