Question

[Thám tử lừng danh]

CMR , với n thuộc N khác 0 thì : 

N = \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\) chia hết cho 10

Answer 1

[Nguyễn Tuấn Minh]

3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ

=(3ⁿ⁺²+3ⁿ)-(2ⁿ⁺²+2ⁿ)

=3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1)

=3ⁿ.10-2ⁿ.5

=3ⁿ.10-2^n-1.10

Vì \(n\in N\)* nên \(2^{n-1}\ge1\)

Có 3ⁿ.10 chia hết cho 10

2^n-1.10 chia hết cho 10

=>3ⁿ.10-2^n-1.10 chia hết cho 10

Vậy N chia hết cho 10

Answer 2

[Lê Mạnh Tiến Đạt]

Ta có : N = 3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3ⁿ - 2ⁿ

              = (3^{n + 2} + 3ⁿ) - (2^{n + 2} + 2ⁿ)

              = 3ⁿ(3² + 1) - 2^{n - 1}(2³ + 2)

              = 3ⁿ.10 - 2^{n - 1}.10

           N = 10 . (3ⁿ - 2^{n - 1})

Mà n là số nguyên dương nên 3ⁿ , 2^{n - 1} là số nguyên => 3ⁿ - 2^{n - 1} là số nguyên

Nên 10 . (3ⁿ - 2^{n - 1}) chia hết cho 10 \(\forall n\) nguyên dương

Vậy N chia hết cho 10 \(\forall n\) nguyên dương