Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\times\left(x+y+z\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
2
27 tháng 3 2016
Từ đề bài suy ra:\(x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đẳng thức này đúng với mọi số x,y,z
Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\) (đpcm)
4 tháng 9 2021
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
26 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
HA
1
21 tháng 5 2020
Ta có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-\left[3xy\left(x+y\right)+3xyz\right]\)
\(=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(x+y\right).z-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yx-3xz-3yz-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020
Lời giải:
Đặt $\frac{x+y}{x-y}=a; \frac{y+z}{y-z}=b; \frac{z+x}{z-x}=c$
Bằng phép biến đổi tương đương cơ bản, ta chỉ ra được:
$ab+bc+ac=-1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=-2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2+2\geq 2$
Ta sẽ đi chứng minh $a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}>\frac{2^{1010}{3^{1009}}$
-------------------------------------------
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\frac{a^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{a^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
\(\frac{b^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{b^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
\(\frac{c^{2020}}{a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3}\geq 1010\sqrt[1010]{\frac{c^{2020}}{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}}\)
Cộng theo vế và thu gọn: $a^2+b^2+c^2\leq \sqrt[1010]{(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}).3^{1009}}$
$\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^{1010}}{3^{1009}}\geq \frac{2^{1010}}{3^{1009}}$ do $a^2+b^2+c^2\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ và $a^2+b^2+c^2=2$. Điều này không được vì $x,y,z$ đôi một khác nhau làm $a,b,c$ đôi một khác nhau
Ta có đpcm.
ND
2 tháng 4 2018
Sửa đề:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Xét hiệu:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)
\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)
\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)
\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
cảm ơn bạn nhiều